Con respecto a la definición de las álgebras de Lie, observamos que las propiedades de bilinealidad y alternancia implican la anticonmutación, es decir, [x,y]=-[y,x] para todos los elementos del álgebra de Lie. Ahora bien, sea L un álgebra de Lie simple sobre GF(2), ¿es un álgebra conmutativa?
Respuesta
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La respuesta depende de la definición de un álgebra conmutativa. En el "álgebra conmutativa" un álgebra conmutativa es también asociativa y unital. Sin embargo, en la teoría de las álgebras no asociativas (por ejemplo, álgebras de Jordan, álgebras de Lie, etc.), la conmutatividad significa que sólo tenemos un producto bilineal conmutativo, es decir, que satisface $x\cdot y=y\cdot x$ . Por ejemplo, un álgebra de Jordan es conmutativa, pero no necesariamente asociativa. Tampoco tiene necesariamente una unidad.
Por lo tanto, un álgebra de Lie conmutativa es un álgebra de Lie que satisface además $[x,y]=[y,x]$ . Para las características diferentes de $2$ esto coincide con las álgebras de Lie abelianas. Pero no es el caso para la característica $2$ .
