¿Cuál es el enunciado del segundo principio de la inducción matemática?
Mi profesor me dio esto:
Dejemos que $X$ sea un subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$ con la propiedad de que dado $m \in \mathbb{N}$ si cada $ n \in \mathbb{N}$ con $n <m$ pertenece a $X$ entonces $m$ pertenece a $X$ entonces $X= \mathbb{N}$ .
En Internet he encontrado que ponen como condición que 1 este en $X$ No sé si son equivalentes... o no.
No, no es necesario poner explícitamente $1$ en $X$ . Con la condición como se indica se pondría $1$ en $X$ si y sólo si todos los números naturales menores que $1$ están en $X$ . Pues bien, no hay números naturales menores que $1$ (todo esto suponiendo que $0 \not \in \mathbb{N}$ por cierto), y por eso es Es cierto que todo (cero) números naturales menores que $1$ están en $X$ . Por lo tanto, si $X$ tiene la propiedad como se indica, $1$ es automáticamente en $X$ .
Pensándolo bien, la afirmación de tu post es correcta. ¿Por qué? Bueno, sólo tenemos que ver que implica $1 \in X$ .
Así que dejemos $m = 1$ . Entonces no hay $n < m, n \in \mathbb N$ . Por lo tanto, la condición de la implicación indicada es verdadera (" $\forall n < m \colon n \in X$ " es verdadero) porque no hay $n < m$ . Por lo tanto, la conclusión debe ser verdadera, es decir $1 \in X$ .
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