Estoy tratando de autoestudiar el capítulo de "cosmología" en Gravitación y Espaciotiempo de Hans C. Ohanian y Remo Ruffini, y estoy atascado en la redacción del problema 9.6:
El elemento de línea espacial para un espacio de 3 homogéneo e isótropo con curvatura positiva es $$ds^2 = R^2\left[\frac{dr^2}{1-r^2/a^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2) \right].$$
(a) ¿Cuál es la longitud medida de una trayectoria que parte de un punto y da una vuelta a todo el universo, en la línea más recta posible?
(b) Considere un círculo $r=b$ alrededor del origen. ¿Cuál es la superficie de este círculo? Demuestra que para $r \to 0$ que su respuesta tenga la forma esperada.
(c) ¿Cuál es la superficie máxima que puede tener cualquier círculo de este universo?
No entiendo muy bien cómo enfocar (a) y (b), ¿qué se entiende por "la línea más recta posible"? ¿Qué valor de $r$ ¿elijo para iniciar el camino del problema (a)? Además, en la parte (b), ¿cómo se encuentra un área de superficie dado el elemento de línea?
El capítulo de este libro no es del todo claro. Se agradece cualquier ayuda.
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"La línea más recta posible" significa "geodésica". ¿Has aprendido sobre geodésicas?
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@G.Smith Sí, pero no estoy seguro de cómo calcular la longitud de una geodésica desde un punto hasta el mismo punto..
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@G.Smith Dado que las geodésicas para esta métrica son cuando $d\theta = d\phi = 0$ ¿Cómo puedo calcular la longitud geodésica de una trayectoria cerrada?