Probabilidad de dar en la "diana"

Question

Tengo que terminar en ejemplo, pero no sé cómo hacerlo.

Tenemos un objetivo de tiro. Digamos que la distribución en este objetivo es la distribución normal bivariada (x,y). . Tenemos esta fórmula para la densidad de probabilidad:

El centro del objetivo es . Los puntos (x,y) tendrán coordenadas polares:

La densidad de probabilidad f(x,y) es:

Necesito calcular la probabilidad (integral) de acertar en la "diana" si tenemos r=1 para la última fórmula. ¿Alguien puede saber cómo hacerlo?

Answer 1

Estás tratando de integrar

$$P = \int\limits_0^R {\frac {rdr}{2π \sigma^2}} e^{\frac{-(r/\sigma)^2}{2}}$$

La derivada de

$$e^{\frac{-(r/\sigma)^2}{2}}$$ es

$$-\frac{r}{\sigma^2} \cdot e^{\frac{-(r/\sigma)^2}{2}}$$

Así que la integral de

$$\frac{r}{2π \sigma^2} e^{\frac{-(r/\sigma)^2}{2}}$$

es

$$-\frac{e^{\frac{-(r/\sigma)^2}{2}}} {2\pi}$$

que es bastante fácil de evaluar en $R$ y $0$ .

EDITAR:

Para revisar, si

$$f(r)=\frac{d}{dr}g(r)$$

entonces

$$\int\limits_a^b {f(r)}dr = g(b)-g(a)$$

En este caso

$$\frac{r}{2π \sigma^2} e^{\frac{-(r/\sigma)^2}{2}} = \frac{d}{dr}\left(-\frac{e^{\frac{-(r/\sigma)^2}{2}}} {2\pi}\right) = \frac{-1}{2\pi}\frac{d}{dr}\left({e^{\frac{-(r/\sigma)^2}{2}}}\right)$$

así que

$$P = \int\limits_0^1\frac{r dr}{2π \sigma^2} e^{\frac{-(r/\sigma)^2}{2}} = \frac{-1}{2\pi}\left({e^{\frac{-(1/\sigma)^2}{2}}}-{e^{\frac{-(0/\sigma)^2}{2}}}\right)$$

$$= \frac{-1}{2\pi}\left({e^{\frac{-(1/\sigma)^2}{2}}}-1\right)$$

$$= \frac{1}{2\pi}\left(1-{e^{\frac{-(1/\sigma)^2}{2}}}\right)$$