Es bien sabido que $H_n(X)=0$ cuando $X$ es un complejo CW de dimensión menor que $n$ . Pero me pregunto si sigue siendo cierto cuando sustituimos $X$ con un par de CW $(X,A)$ .
Cuando intento demostrar esto, el resultado no parece seguirse directamente de la larga secuencia exacta para $(X,A)$ .
El resultado, de hecho, no se deduce de la secuencia exacta larga para un par, en el siguiente sentido: es posible escribir espacios $A \subseteq X$ tal que $A$ y $X$ tienen una dimensión homológica inferior a $n$ (lo que significa que su homología desaparece en grado $n$ arriba) pero $X/A$ tiene dimensión homológica $n$ . Un ejemplo sencillo es tomar $X = D^2, A = S^1$ que tienen dimensiones homológicas $0$ y $1$ respectivamente, pero $X/A \cong S^2$ tiene dimensión homológica $2$ .
En cambio, puede hacerlo utilizando el hecho de que $X/A$ es también un complejo CW de dimensión inferior a $n$ como dice Pedro en los comentarios.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
