¿La base de Gröbner no es una base vectorial?

Question

Utilizamos la misma notación para la base de Gröbner y la base vectorial. Recuerdo que $\langle 1\rangle_{GR}$ es la mayor base de Gröbner mientras que $\langle 1\rangle_{vector}$ es la base vectorial más pequeña. Así, por ejemplo

$$x^2\not\in \langle 1,x\rangle_{vector}$$

donde el espacio vectorial satisface las condiciones del espacio vectorial como la multiplicación por escalar y la existencia de identidad multiplicativa. Dado que el espacio vectorial no es un ideal, la multiplicación por variable como $x\cdot x$ en $\langle 1,x\rangle$ no está permitido. En cambio, la base de Gröbner abarca un ideal, por lo que, por ejemplo

$$x^2\in \langle 1,x\rangle_{GR}$$

donde las bases de Gröbner satisfacen las condiciones ideales como la multiplicación de manera más general: $\langle 1,x\rangle_{GR}$ es un ideal por lo que también $x^n\in\langle 1,x\rangle_{GR}\forall n$ .

Quiero verificar lo anterior. Así que

1. ¿Es la base de Gröbner una base vectorial?

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2. ¿Los tamaños de las bases funcionan como los de abajo?

Base de la RG en la Geometría Algebraica: ¿qué espacio de la RG $\{ x \}$ ¿Galance?

1. $\langle 1 \rangle$ es el mayor espacio de GR mientras que

2. $\langle 1,x\rangle$ es un poco más pequeño, entonces

3. $\langle 1,x,x^2,\ldots\rangle$ sería el más pequeño.

Base vectorial

1. $\langle 1 \rangle$ es el espacio vectorial más pequeño mientras que

2. $\langle 1,x\rangle$ es un poco más grande, entonces

3. $\langle 1,x,x^2,\ldots\rangle$ sería el más grande.

Answer 1

No puedo analizar del todo el post, pero

Una base de Gröbner es un conjunto generador especial para un ideal en un anillo $R$ considerado como $R$ -submódulo de $R$ .

y

Una base para un espacio vectorial es un conjunto generador especial para el espacio vectorial como $\Bbb F$ -Módulo para algún campo (o incluso anillo de división) $\Bbb F$ .

Sí, si $1$ fueran parte de una base de Gröbner para un ideal, el ideal tendría que ser el anillo entero ya que $1\cdot R=R$ . Lo mismo ocurre con el $\Bbb F$ espacio vectorial $\Bbb F$ : $\{1\}$ es una base. No hay ninguna diferencia entre estos dos ejemplos.

También en ambos ejemplos, si tienes una base $\{b_1,b_2,\ldots\}$ de cualquier tipo, se tiene una secuencia creciente $\{b_1\}\subseteq \{b_1,b_2\}\subseteq\ldots$ . No hay ninguna diferencia entre los dos. Añadir elementos a la base de Gröbner hace no disminuir lo que genera: después de $1$ se añade, se obtiene el anillo completo, y añadir más cosas no hace ninguna diferencia.

Todo su problema parece provenir de su sorpresa de que el $R$ submódulo de $R$ generado por $1_R$ es todo $R$ . Por supuesto, si usted está pensando simultáneamente en $R$ como $\Bbb F$ sobre algún campo, entonces por supuesto el subespacio generado por $\Bbb F$ y $1_R$ puede no ser todo el anillo: está trabajando con un anillo de coeficiente (normalmente) más pequeño, por lo que no podrá producir tantos múltiplos.