Cómo averiguar el error cometido al intentar una pregunta de termodinámica

Question

Un pistón conductor del calor puede moverse libremente dentro de un cilindro cerrado y aislado térmicamente con un gas ideal. En equilibrio, el pistón se divide en dos partes iguales, siendo la temperatura del gas igual a $T_o$ . El pistón se desplaza lentamente. Encuentra la temperatura del gas en función de la relación $\eta$ de las secciones mayor y menor. El exponente adiabático del gas es igual a $\gamma$ .

Estoy cansado de intentar este problema una y otra vez. Aquí está mi intento:

En cualquier momento, que $V_1$ sea el volumen de la sección más pequeña y $V_2$ sea el volumen de la sección mayor. Las presiones son $p_1$ y $p_2$ respectivamente.l

La temperatura en ambos lados del pistón es la misma e igual a $T$ porque el pistón diatérmico se mueve lentamente.

$p_1V_1 = p_2 V_2 \implies p_1 V_1= p_2 \eta V_1 \implies p_1 = \eta p_2 \implies \\ dW = (p_2-p_1)dV = (p_2(1-\eta))dV $

También,

$\dfrac{V_2}{V_1}= \eta$

Dejemos que $C_v$ sea la capacidad calorífica molar a volumen constante. Además, sea $n$ lunares en cada lado.

Ahora, para el todo el sistema $dU = -dW$ de la primera ley de la termodinámica.

$$2nC_v dT = p_2(\eta -1)dV$$

Tenga en cuenta que $$p_2 =\dfrac{ nrT_2}{V_2} $$

$$\implies \dfrac{2C_v}{R}\dfrac{1}{T}dT= (\dfrac{\eta}{V_2}- \dfrac{1}{V_2})dV$$

Ahora, claramente $\eta/ V_2 = 1/V_1$

$$\implies \int ^T_{T_o} \dfrac{2C_v}{R}\dfrac{1}{T}dT= \left(\int^{V_1}_{V_o}\dfrac{1}{V_1}dV- \int ^{V_2} _{V_0}\dfrac{1}{V_2}dV\right)$$

En la solución,

$$\implies T= T_o\left[\dfrac{1}{\eta}\right]^{\dfrac{\gamma- 1}{2}}$$ Porque $C_v = \dfrac{R}{\gamma -1 }$

Sin embargo, la respuesta es: $$T= T_o\left[\dfrac{(\eta+1)^2}{4\eta}\right]^{\dfrac{\gamma-1}{2}}$$

Por favor, indíqueme el error conceptual que he cometido. Gracias.

Answer 1

Me sale $$dW=nRTd\ln{V_1}+nRTd\ln{V_2}=nRTd\ln{(V_1V_2)}$$ donde $$V_1=\frac{2V_0}{(1+\eta)}$$ y $$V_2=\frac{2V_0\eta}{(1+\eta)}$$ Esto lleva directamente a $$2nC_vdT=nRTd\ln{\left[\frac{(1+\eta)^2}{\eta}\right]}$$