Encuentre todos $a>0$ tal que la siguiente integral impropia converge.

Question

El problema es integral: $$ \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sec^a(x)dx $$

Me las arreglé para pensar que si $a=1$ la integral diverge y por la prueba de comparación, para todo $a>1$ la integral también diverge.

Sin embargo, no sé qué hacer a continuación. Desde $a$ es un número real, no puedo obtener su antiderivada directamente.

Answer 1

Sugerencia: Tenga en cuenta que $$\sec(x)=\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}.$$ Además, recuerde que $$\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1,$$ así de cerca $\frac{\pi}{2}$ tenemos $$\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\sim\frac{1}{\frac{\pi}{2}-x}.$$ A continuación, aplique la prueba de comparación.

Answer 2

Una pista:

$$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sec^a(x)dx = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\csc^a(x)dx = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^a(x)}dx$$ y observe que $\sin x \stackrel{x \rightarrow 0}{\sim} x$ .

A continuación, puede utilizar el prueba de comparación de límites para las integrales impropias.

Answer 3

Me parece que se puede comparar esta integral con:

$$ \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(x)}{cos^a(x)}dx < \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sec^a(x)dx $$

Esto es cierto porque $\sin(x) \leq 1$ . Entonces podemos hacer un $u$ -sustitución: $u = \cos(x)$ y $du = -\sin(x)dx$ y $u$ va de $1$ a $0$ :

$$ \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(x)}{cos^a(x)}dx = -\int\limits_1^0 u^{-a}du = -\frac{1}{1 - a}\lim_{x\rightarrow 0}\left[x^{1 -a} - 1\right] \text{, for $ a \neq 1 $} $$

Así que, al igual que usted encontró, vemos que esto definitivamente diverge para $a > 1$ . Además, puesto que, cuando $a = 1$ se obtiene el logaritmo natural, también diverge para $a = 1$ .

Es evidente que esta integral converge cuando $0 < a < 1$ pero eso no nos "ayuda" porque nuestra prueba integral es menos de el original. Sin embargo, Es no que difícilmente se puede multiplicar el $\sin(x)$ para que sea mayor que $1$ . En el intervalo de $0$ a $\frac{\pi}{2}$ , $\sin(x)$ aumenta monótonamente. Por lo tanto, simplemente elegimos un valor particular de $\sin(x)$ para $x > 0$ y multiplicarlo por una cantidad lo suficientemente grande como para que sea mayor que $1$ . Entonces obtenemos:

$$ A\int\limits_{x_0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(x)}{cos^a(x)}dx \geq \int\limits_{x_0}^{\frac{\pi}{2}}\sec^a(x)dx \text{, such that $ A\sin(x_0) \geq 1 $} $$

Desde $x_0 < \frac{\pi}{2}$ la primera parte de la integral converge con seguridad. Esto demuestra que la "segunda" parte converge, por lo que la integral completa también lo hace.

Editar: Para concretar esto (y esto es estrictamente para $a > 0$ ...hay pocas dudas de que la integral converge cuando $a < 0$ ), elegimos un $x_0$ tal que $0 < x_0 < \frac{\pi}{2}$ y un $A$ (junto con $x_0$ ) tal que $A\sin(x_0) \geq 1$ . La integral original se convierte entonces en:

$$ \int\limits_0^\frac{\pi}{2} \sec^a(x)dx = \int\limits_0^{x_0}\sec^a(x)dx + \int\limits_{x_0}^\frac{\pi}{2}\sec^a(x)dx $$

Podemos acotar la primera integral simplemente tomando el valor más pequeño (cuando en $x = 0$ : $\sec^a(0) = 1$ ) y el mayor valor (cuando $x = x_0$ : $\sec^a(x_0)$ ):

$$ \int\limits_0^{x_0} dx \leq \int\limits_0^{x_0}\sec^a(x)dx \leq \sec^a(x_0)\int\limits_0^{x_0}dx $$

Esto significa que la primera integral está entre $x_0$ y $x_0\sec^a(x_0)$ . Finalmente la segunda integral puede ser acotada por:

$$ \sec^a(x_0)\int\limits_{x_0}^\frac{\pi}{2}dx \leq \int\limits_{x_0}^\frac{\pi}{2}\sec^a(x) \leq A\int\limits_{x_0}^\frac{\pi}{2}\frac{\sin(x)}{\cos^a(x)}dx $$

Parte izquierda (más pequeña): $\sec^a(x_0)$ es el valor más pequeño de $\sec(x)$ en el intervalo de $\left[x_0, \frac{\pi}{2}\right)$ Así que sólo hay que multiplicar por la longitud del intervalo: $\frac{\pi}{2} - x_0$ .

Parte derecha (más grande): Esto se debe a que hemos elegido $A$ y $x_0$ tal que $A\sin(x_0) \geq 1$ y por lo tanto, para todos $x$ , $x_0 < x < \frac{\pi}{2}$ , $\frac{A\sin(x)}{\cos^a(x)} > \frac{1}{\cos^a(x)}$ .

Lo único que queda es probar tal $A$ y $x_0$ existen. Lo hacen porque $\sin(x)$ aumenta monótonamente en el intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ pasando de $0$ a $1$ (se puede demostrar formalmente esto mostrando que la derivada de $\sin(x)$ , $\cos(x)$ es mayor que cero en el intervalo $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ). Si elegimos un punto cualquiera, $0 < x_0 < \frac{\pi}{2}$ podemos encontrar el valor de $\sin(x_0)$ y, a continuación, elija $A = \frac{1}{\sin(x_0)}$ . Porque $\sin(x)$ aumenta monótonamente, si $A\sin(x_0) \geq 1$ , entonces para todos los $x$ tal que $x_0 < x < \frac{\pi}{2}$ , $A\sin(x) > A\sin(x_0) \geq 1$ .