Vecindad abierta de un subconjunto de un espacio métrico

Question

Supongamos que $X$ es un espacio métrico, con función de distancia $d:X\times X\to \Bbb R$ . Supongamos también que $U$ es una vecindad abierta de un subconjunto $A\subset X$ . Entonces, para cada $a\in A$ podemos elegir un $\epsilon_a>0$ tal que la bola $B(a,\epsilon_a)$ está contenida en $U$ . Mi pregunta es: ¿podemos elegir una función continua $\epsilon:A\to \Bbb R$ tal que $B(a,\epsilon(a))$ está contenida en $U$ para todos $a\in A$ ?

En realidad quiero esta situación cuando $X=\Bbb R^n$ pero me pregunto si esto es válido en esta situación general.

Answer 1

Sí, $\epsilon(a) =d(a, U^{c}) (\equiv \inf \{d(a,b): b \notin U\}$ es una función de este tipo. De hecho $|\epsilon(a)-\epsilon(a')| \leq d(a,a')$ .

[ $\epsilon (a) \leq d(a,b) \leq d(a,a')+d(a',b)$ para todos $b \in U^{c}$ . Tome el infimo sobre $b$ para ver que $\epsilon (a) \leq \epsilon (a') +d(a,a')$ . Simialrmente, $\epsilon (a') \leq \epsilon (a) +d(a,a')$ . así que $|\epsilon (a) - \epsilon (a')| \leq d(a,a')$ ].

Answer 2

Dejemos que $A\subset X$ abierto. Si $A=X$ entonces $f(x)\equiv 1$ hace nuestro trabajo.

Si $X\setminus A\ne\varnothing$ podemos definir $f:A\to\mathbb R$ como $$ f(x)={\mathrm{dist}}(x,X\setminus A). $$ Si $x,y\in A$ y $z\in X\setminus A$ entonces $$ d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z) $$ Claramente $$ f(x)=\inf\{d(x,w):w\in X\setminus A\}\le d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z) $$ y por lo tanto $$ f(x)\le d(x,y)+d(y,z), \quad\text{for all $ z\in X\setminus A $} $$ Así, $$ f(x)\le d(x,y)+\inf_{z\in X\setminus A} d(y,z)=d(x,y)+f(y). $$ Del mismo modo, obtenemos $$ f(y)\le d(x,y)+f(x), $$ y por lo tanto $$ |f(x)-f(y)|\le d(x,y), $$ es decir $f$ uniformemente continua.