Se me da una secuencia de reales no negativa y decreciente que satisface la siguiente relación $$a_{k+1} \leq a_k - ca_k^{\frac{2}{1+\varepsilon}}$$ donde $\varepsilon \in (0,1)$ y $c > 0$ . Sé que esta serie va a converger a algún número $a \geq 0$ . Pero cómo demostrar que $a = 0$ .
Respuesta
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Sabemos que el límite tiene que ser no negativo ya que todos los $a_k$ son. Ahora observa que $a_k^{\frac{2}{1+\varepsilon}} \geq a_k$ , ya que $a_k\geq 0$ y $0 < \varepsilon < 1$ y, por lo tanto, obtenemos $$a_{k+1} \leq a_k - ca_k^{\frac{2}{1 + \varepsilon}} \leq a_k - ca_k$$ (Lo hago para evitar las potencias no enteras de los números negativos, ese es un tema delicado). Además, $$ a = \lim_{k \to \infty} a_{k+1} = \lim_{k \to \infty} a_k $$ y por lo tanto, tomando el límite en la desigualdad, $$ a \leq a - ca.$$ Esto implica $$ c a \leq 0.$$ Desde $c > 0$ , $$ a \leq 0.$$ Combinando $a \geq 0$ y $a \leq 0$ da $a = 0$ .
