Supongamos que para todo $\alpha \in (0,1)$ la matriz $\mathbf I-\alpha \mathbf A$ es invertible, pero que $\det(\mathbf I-\mathbf A)=0$ . ¿Cómo puedo calcular
$$ \lim_{\alpha \to 1} (\mathbf I-\alpha \mathbf A)^{-1}(\mathbf I- \mathbf A)?$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si todo fuera lo más bonito posible, podríamos realizar el siguiente cálculo:
$$\lim_{\alpha \to 1^-} (I-\alpha A)^{-1}(I-A) \\ =\lim_{\alpha \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty \alpha^n (A^n-A^{n+1}) \\=\lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^N A^n-A^{n+1} \\=\lim_{N \to \infty} I-A^{N+1} \\= I-\lim_{N \to \infty} A^N.$$
Supongamos que $A$ no tiene valores propios de módulo $\geq 1$ excepto $1$ y el valor propio $1$ de $A$ (que ya ha asumido que existe) no es defectuoso. Entonces $\lim_{N \to \infty} A^N$ es una proyección sobre el eigespacio de $A$ con el valor propio $1$ . En general, puede no ser ortogonal en el producto interior habitual, por lo que para especificarlo de forma única debemos dar su coproyector. Este coproyector es la proyección sobre el tramo de los otros vectores propios (generalizados) de $A$ .
Si se incumple alguno de estos supuestos, no deberíamos esperar $\lim_{N \to \infty} A^N$ para existir (ya sea por oscilación o por explosión).
El único paso incompleto aquí es la segunda igualdad, que requirió un intercambio de límites que no justifiqué. Este tipo de situaciones "críticas" pueden hacer que estos intercambios se rompan, por lo que debes comprobar este paso cuidadosamente.
Chris Farmer
Puntos
10681
En el caso especial de que $A_{n \times n}$ es una matriz simétrica real, el límite puede calcularse explícitamente en términos de la descomposición espectral de $A$ .
La condición $\det(I-A)=0$ asegura $1$ es un valor propio de $A$ .
La condición $\det(I-\alpha A) \neq 0$ para $\alpha \in (0,1)$ implica $\det(\frac{1}{\alpha}I -A) \neq 0$ para $\alpha \in (0,1)$ es decir, $\det(\mu I-A) \neq 0$ para $\mu > 1$ . Así que todos los valores propios de $A$ que son distintos de $1$ (si lo hay) debe estar en el intervalo $(-\infty,1)$ .
Dejemos que $r > 0$ sea la multiplicidad de $1$ como un valor propio de $A$ y que $\lambda_{r+1},\dots,\lambda_{n}$ denotan los valores propios restantes, con cada valor propio repetido tantas veces como su multiplicidad.
Podemos encontrar una base ortonormal de $\mathbb{R}^n : \{u_1,u_2,\dots,u_r,u_{r+1},\dots,u_n\}$ tal que $$\label{e:1}A = \sum_{i=1}^{r}u_i u_i^T + \sum_{i=r+1}^{n}\lambda_iu_iu_i^T \tag{*}$$ y la ortonormalidad implica $$ \label{e:2} I = \sum_{i=1}^{n}u_iu_i^T \tag{+}. $$
Tenemos desde $\eqref{e:1}$ y $\eqref{e:2}$ $$I-A = \sum_{i=r+1}^{n}(1-\lambda_i)u_iu_i^T$$ y $$ I - \alpha A = \sum_{i=1}^r (1 - \alpha)u_iu_i^T + \sum_{i=r+1}^{n}(1-\alpha\lambda_i)u_iu_i^T. $$
Nota para $\alpha \in (0,1)$ y $i > r$ tenemos $1 -\alpha \lambda_i \neq 0$ así que $$ (I-\alpha A)^{-1} = \frac{1}{1-\alpha}\sum_{i=1}^ru_i u_i^T + \sum_{i=r+1}^n\frac{1}{1-\alpha\lambda_i} u_iu_i^T $$ y así $$ (I-\alpha A)^{-1}(I - A) = \sum_{i=r+1}^{n}\frac{1-\lambda_i}{1-\alpha\lambda_i}u_iu_i^T. $$ Así que, $$ \lim_{\alpha \to 1^{-}}(I-\alpha A)^{-1}(I - A) = \sum_{i=r+1}^{n}u_iu_i^T. $$
