Demuestre que el espacio de las funciones armónicas sobre $\Omega$ en $L^2$ están cerradas.

Question

Dejemos que $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ un conjunto abierto y $H(\Omega)$ el espacio de las funciones armónicas sobre $\Omega$ que están en $L^2(\Omega)$ . Demostrar que $H(\Omega)$ es un subconjunto cerrado de $L^2$ .

Answer 1

Los elementos de $H(\Omega)$ son los elementos $u\in\mathbb L^2(\Omega)$ que satisfacen la ecuación $$\int_{\Omega}u(x)\Delta \varphi(x)\mathrm dx=0$$ para cualquier $\varphi$ suave con soporte compacto. Es el ortogonal del subespacio $V:=\{\Delta \varphi,\varphi\mbox{ smooth with compact support}\}$ .