$ \lambda_{n+m}( A \times B ) = \lambda_n(A) \cdot \lambda_m(B) $

Question

En realidad tengo que mostrar dos cosas:

$(a)$ Demuestra eso: $\mathbb{B}(\mathbb{R^n}) \bigotimes\mathbb{B}(\mathbb{R^m}) =\mathbb{B}(\mathbb{R^{n+m}}) $ $\mathbb{B}$ significa Borel $\sigma$ -Álgebra.

$(b)$ Demostrar que $ \lambda_{n+m}( A \times B ) = \lambda_n(A) \cdot \lambda_m(B) $ para $A \in \mathbb{B}(\mathbb{R^n}) $ y $ B \in \mathbb{B}(\mathbb{R^m}) $ .

Así que $(a)$ no era gran cosa. Pero estoy atrapado en $ (b) $ . Tal vez podríamos usar $(a)$ ¿de alguna manera?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Denote $\pi$ el conjunto de todos los rectángulos delimitados en ${\bf{R}}^{n}$ . Ahora fija un $I\in\pi$ y considerar \begin{align*} \mathcal{D}_{I}=\{B\in\mathcal{B}({\bf{R}}^{m}): |I\times B|=|I|\times|B|\}. \end{align*} Entonces $\pi\subseteq\mathcal{D}_{I}$ . Obsérvese que el conjunto $\pi$ es un $\pi$ -sistema. Ahora debemos demostrar que $\mathcal{D}_{I}$ es un $\lambda$ -sistema. Claramente ${\bf{R}}^{m}\in\mathcal{D}_{I}$ y siempre que $(B_{n})$ es una secuencia disjunta de $\mathcal{D}_{I}$ entonces la unión de $(B_{n})$ sigue en $\mathcal{D}_{I}$ .

Ahora, teniendo en cuenta $B\in\mathcal{D}_{I}$ , suponiendo en primer lugar que $B$ está contenido en un rectángulo delimitado $Q$ entonces \begin{align*} \left(I\times(Q-B)\right)\cup\left(I\times B\right)=I\times Q, \end{align*} y tenemos \begin{align*} |I\times(Q-B)|&=|I\times Q|-|I\times B|\\ &=|I|\times|Q|-|I|\times|B|\\ &=|I|\times(|Q|-|B|)\\ &=|I|\times|Q-B|. \end{align*} Ahora exprese ${\bf{R}}^{m}$ como la unión de rectángulos no superpuestos $Q_{n}$ entonces \begin{align*} |I\times B^{c}|&=\left|I\times\left(\bigcup_{n}(Q_{n}-B)\right)\right|\\ &=\left|\bigcup_{n}(I\times(Q_{n}-B))\right|\\ &=\sum_{n}|I\times(Q_{n}-B)|\\ &=\sum_{n}|I|\times|Q_{n}-B|\\ &=|I|\times\left|\bigcup_{n}(Q_{n}-B)\right|\\ &=|I|\times|B^{c}|, \end{align*} esto demuestra que $B^{c}\in\mathcal{D}_{I}$ Así que $\mathcal{D}_{I}$ es un $\lambda$ -sistema. Por $\pi$ - $\lambda$ teorema, tenemos $\mathcal{B}({\bf{R}}^{n})\subseteq\mathcal{D}_{I}$ .

Ahora dejemos que $A\in\mathcal{B}({\bf{R}}^{n})$ y considerar \begin{align*} \mathcal{D}_{A}=\{B\in\mathcal{B}({\bf{R}}^{m}): |A\times B|=|A|\times|B|\}. \end{align*} Ahora $\pi\subseteq\mathcal{D}_{A}$ . Con el mismo razonamiento se puede demostrar $\mathcal{D}_{A}$ es un $\lambda$ -y utilizando de nuevo el teorema obtenemos $\mathcal{B}({\bf{R}}^{n})\subseteq\mathcal{D}_{A}$ .