$S^2$ no es una unión contable de círculos incrustados $S^1$

Question

Tengo dos preguntas en topología de conjuntos de puntos.

1. ¿Cómo puedo demostrar que $S^2$ no es una unión contable de círculos incrustados $S^1$ ?

2. ¿Cómo puedo demostrar que si $m>n$ entonces todo conjunto abierto no vacío $U$ en $\Bbb R^m$ no puede estar contenido en la unión de un número finito de hiperplanos en $\Bbb R^m$ de dimensión como máximo $n$ ?

Creo que tengo que utilizar algunos invariantes topológicos, tal vez la homología, por ejemplo. ¿Alguna pista? Gracias de antemano.

Answer 1

La dimensión topológica es un bonito invariante, especialmente en los espacios métricos separables:

Copias incrustadas de $S^1$ no será denso en ninguna parte $S^2$ (no puede tener interior en $S^2$ como $S^1$ tiene dimensión $1$ ), por lo que el teorema de Baire muestra 1.

El teorema de la suma contable en la teoría de la dimensión implica 2. fácilmente.

Answer 2

Para añadir a la buena respuesta de Henno, permíteme señalar que puedes utilizar la homología (el teorema de la invariabilidad del dominio) si por alguna razón prefieres eso a alguna teoría elemental de la dimensión para ver que los círculos incrustados no son densos en ninguna parte. También puedes utilizar la teoría de la medida para el problema 2, pero no para el problema 1, ya que hay curvas de Jordan con medida distinta de cero.

Answer 3

Aquí tienes una pista para el número 1. Hay un número incontablemente infinito de círculos que se pueden incrustar en $S^2$ . Por lo tanto, debe haber uno que no forme parte de su colección. Elige un círculo de este tipo $C$ . Ahora la intersección de los círculos de su colección con $C$ debe cubrir $C$ . Demuestre que esto es imposible.