¿Existe una función diferenciable cuya derivada es mayor o igual a 1 en todas partes pero 0 en 0?

Question

¿Existe una función diferenciable $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ tal que $f^{'}(0)=0$ y $f^{'}(x) \ge 1$ $\forall x \ne 0?$ Demuestra cualquier cosa.

Estaba pensando en plantear un contraejemplo como $x^3$ pero añadiendo una expresión para hacer $f' \ge 1$ pero eso hace que $f'(0) \ne 0.$ Lo que sería una prueba rigurosa de lo contrario si no hay tal $f$ ¿existe?

Answer 1

Darboux Theroem dice que la derivada de cualquier función diferenciable tiene PIV. Por tanto, no existe tal función. Ref: https://en.wikipedia.org/wiki/Darboux%27s_theorem_(análisis)

Answer 2

Si $x\ne 0$ entonces por la IMT existe $y$ estrictamente entre $x$ y $0$ con $\frac {f(x)-f(0)}{x-0}=f'(y).$

Así que $\left|\frac {f(x)-f(0)}{x-0}\right|\ge 1.$

Así que $|f'(0)|=\lim_{x\to 0}\left|\frac {f(x)-f(0)}{x-0}\right|\ge 1.$