Para lo cual n puede $a^{2}+(a+n)^{2}=c^{2}$ se resuelve, donde $a,b,c,n$ son enteros positivos? He encontrado soluciones para $n=1,7,17,23,31,41,47,79,89$ y para los múltiplos de $7,17,23$ ... ¿Existen infinitos primos $n$ ¿para qué es solucionable?
La solución general primitiva de $x^2+y^2 = z^2$ está dada por: $x=u^2-v^2$ , $y=2uv$ , $z=u^2+v^2$ con $u,v$ relativamente primos y no ambos Impares.
Para $(a,a+n,z)$ para ser un triple primitivo, tendríamos que tener un $(u,v)$ tal que: $|u^2 - v^2 - 2uv| = n$ . Podemos reescribirlo como: $(u-v)^2 - 2v^2 = \pm n$
Por lo tanto, el establecimiento de $w = u-v$ queremos encontrar $(w,v)$ que son relativamente primos y $w$ es impar, con:
$$w^2-2v^2 = \pm n$$
Esto significa que $n$ debe ser impar.
De hecho, podemos utilizar la factorización única en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ para demostrar que $n$ puede ser cualquier producto de primos de la forma $8k\pm 1$ . Como hay infinitos primos de la forma $8k\pm 1$ la respuesta a su pregunta es "sí".
(Oh, y una vez que encuentre una solución $(w,v)$ para un determinado $n$ se pueden encontrar infinitas soluciones para eso $n$ .)
Por ejemplo, $-71 = w^2 - 2v^2$ tiene solución $(w,v)=(1,6)$ . Así que $u=7$ , $x=u^2-v^2 = 13$ , $y=2uv=84$ y $z=u^2+v^2=85$ Así que $n=71$ tiene una solución con $a=13$ .
$2a^{2}+2na+n^{2}=c^{2}$ --> $a=-\frac{-n+\sqrt{2c^{2}-n^{2}}}{2}$ --> hay soluciones si $x^{2}+n^{2}=2c^{2}$ tiene soluciones --> encontrar el conjunto de los cuadrados de todos los enteros 0 en el conjunto tal que $y=2x-n$ entonces existe una tripleta pitagórica primitiva con una diferencia de n entre catetos, y también para cualquier múltiplo An si n>1 ya que si $k^{2}\equiv x(\mod{n})$ entonces $(Ak)^{2} \equiv Ax(\mod{An})$ --> $Ay=2Ax-An$ .
Si usted resolver expresión para $n$ consigue
$n=\sqrt{c^2-a^2}-a$, vamos a denotar $b=\sqrt{c^2-a^2}$,por lo que tenemos que $n=b-a$
Ahora,tomar mirada en la foto de abajo.Tenga en cuenta que $AD=a$,e $BD=b-a=n$
Si cambia el valor de $b$ y mantener $a$ a ser constante obtendrá un número infinito de triángulos rectángulos,y por lo tanto infinito número de valores de $n=b-a$,así que la respuesta es sí, existen infinitos números primos $n$ para que la ecuación tiene solución.
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El título dice "primitivo", así que $GCD(a,n,c)=1$ ¿se asume?
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@Angela: ¡Pregunta muy interesante!
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Un artículo con información útil sobre esta cuestión es el de Delano Wegener. Triples pitagóricos primitivos con suma o diferencia de catetos igual a un primo. Wegener demuestra que su ecuación es resoluble para los primos $p$ si $p=\pm1\mod 8$ .