${x^3+x,5x^4-x^3+x^2,3x+2,4x}$ ,
V es el espacio vectorial real de todos los polinomios con coeficientes reales de grado máximo 4.
Sé que para demostrar que forman una base, necesito demostrar la independencia lineal y que los vectores abarcan V.
Tengo claro que los vectores son linealmente independientes, pero no estoy seguro de si estoy en lo cierto al mostrar el tramo o no.
Mi enfoque es establecer $c_1(x^3+x) + c_2(5x^4 - x^3 + x^2) + c_3 (3x+2) + c_4(4x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx^1 + e$ y resolver para $c_1,...,c_4$
Entonces me sale $$5c_2 = a$$ $$c_1-c_2 = b$$ $$c_2 = c$$ $$c_1 + 3c_3 + 4c_4 = d$$ $$2c_3 = e$$
Y estoy confundido después de este paso. A partir de aquí, ¿concluyo que desde $c_2 = c$ y $c_2 = a/5$ ¿el conjunto de vectores no abarca V? Lo que yo entiendo es que $a$ y $c$ tienen que tener una relación de 5 a 1 para que el espacio vectorial se pueda escribir como combinaciones lineales del conjunto de los vectores dados. Por ejemplo, si $a=5$ y $c=5$ entonces no existe $c_2$ y los vectores no abarcan V.
¿Es eso correcto? Muchas gracias.
