Un problema de minimización elemental (?)

Question

Esta mañana, en Italia, ha tenido lugar el examen nacional de matemáticas para estudiantes de secundaria. Uno de los ejercicios pedía resolver el problema de Herón: dada una línea recta y dos puntos situados en el mismo lado de la línea, encontrar el mejor camino (= el camino de longitud mínima) que los une y toca la línea recta.

Como matemático, conozco (probablemente) la respuesta. Sin embargo, todas las soluciones publicadas por los periódicos suponen que el camino óptimo está formado por dos segmentos, es decir, que la solución debe encontrarse entre curvas afines a trozos. Esto es cierto, pero ¿puede aceptarse tal solución como correcta? En realidad, el problema parece bastante difícil, si no se hace ninguna suposición de regularidad sobre la clase de caminos admisibles.

Answer 1

Creo que es suficientemente conocido que la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta como para que no sea necesario demostrarlo (definición de línea recta, desigualdad del triángulo, etc.). Así que hay dos formas obvias de encontrar la respuesta:

1. Parta del primer punto dado, vaya directamente a un punto aún desconocido de la línea dada, vaya directamente a un segundo punto desconocido de la línea dada, y luego vaya directamente al segundo punto dado. Encuentra los dos puntos desconocidos que minimizan el total de las tres distancias rectas.

   1.5 En el método 1, la distancia total puede reducirse claramente si el segundo punto desconocido de la recta dada se hace coincidir con el primero, así que hazlo y luego encuentra el punto desconocido que minimiza el total de las dos distancias rectas.

2. (como H. Kabayakawa) Refleja el segundo punto dado en la línea dada. La distancia más corta entre el primer punto dado y el reflejo del primero es la línea recta que los une, y al reflejar el segmento de la línea dada en el reflejo del segundo punto dado se obtiene el camino más corto en la pregunta original.