¿Cómo se demuestra la afirmación: $A^c=(A\cup B)^c\cup (B \setminus A)$

Question

Llevo un tiempo atascado en esta cuestión y el problema es que básicamente no sé cómo probarlo, he intentado convertirlo en $\vee$ y $\wedge$ símbolos entonces investigué un poco y descubrí que matemáticamente no tiene sentido compararlos, por lo que actualmente estoy atascado en cómo demostrar tal afirmación.

Pregunta

Determine si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, si es verdadera demuéstrela, si es falsa proporcione un contraejemplo.

$A^c=(A\cup B)^c\cup (B \setminus A)$

Trabajando

$A^c=$ ~ $A$ , $(A \cup B)^c=($ ~ $A$ $\wedge$ ~ $B$ ), $(B\setminus A)=$ ~ $A$

$\implies A^c=(A\cup B)^c\cup (B \setminus A)=$ ~ $A =($ ~ $A$ $\wedge$ ~ $B)$ $\wedge$ ~ $A$ $\rightarrow$ Luego pasé a mostrar que esto era igual a ~ $A$ $\wedge $ ~ $B$ que no muestra nada adicionalmente es matemáticamente incorrecto por lo que he encontrado.

Nota

He intentado buscar un contraejemplo y no lo he encontrado, así que asumo que es cierto, y como he dicho ahí es donde estoy atascado, no sé cómo demostrarlo. Cualquier ayuda será muy apreciada, ¡gracias! :)

Answer 1

La forma estándar de demostrar que dos conjuntos son iguales es mostrar que uno está contenido en el otro. A la izquierda, tienes todo lo que no está en $A$ . A la derecha, todo lo que no está en ( $A$ o $B$ ) junto con todo lo que hay en $B$ pero no $A$ . Así que si $x$ no está en $A$ entonces demuestre que $x \in (A \cup B)^c$ o $x \in B \setminus A$ (que depende de si $x \in B$ ). Para la inclusión inversa, demuestre que si $x \in (A \cup B)^c$ entonces $x \not\in A$ y si $x \in B \setminus A$ entonces $x \not\in A$ .

También puedes demostrarlo algebraicamente si puedes justificar cada una de las siguientes igualdades:

$$ \begin{align*} (A \cup B)^c \cup (B \setminus A) &= (A^c \cap B^c) \cup (B \setminus A) \\ &= (A^c \cap B^c) \cup (B \cap A^c) \\ &= A^c \cap (B^c \cup B) \\ &= A^c \cap X \\ &= A^c \end{align*} $$

donde $X$ es todo el conjunto.

Answer 2

Me gustan los diagramas de Venn para mostrar la igualdad de los conjuntos. $A^c$ es la sección rosa de la figura de la izquierda. $(A\cup B)^c$ es el verde más oscuro en la figura de la derecha, y $B-A$ es el verde más claro en la figura de la derecha.

Answer 3

Si un elemento está en $(A\cup B)^\complement\cup(B\setminus A)$ entonces está en $(A\cup B)^\complement$ o está en $(B\cap A^\complement)$ .   Si está en la primera, entonces no está en $A$ y si está en el segundo entonces no está en $A$ .   (Porque...)

Así que $(A\cup B)^\complement\cup(B\setminus A)\subseteq A^\complement$ .

Asimismo, si un elemento está en $A^\complement$ no está en ninguno de los dos $(A\cup B)^\complement$ ni está en $(B\cap A^\complement)$ .   (Porque...) Así que no estará en su unión.

Así que $(A\cup B)^\complement\cup(B\setminus A)\supseteq A^\complement$ .

Por lo tanto, $(A\cup B)^\complement\cup(B\setminus A) = A^\complement$ .

---

No intentes convertir el álgebra de conjuntos directamente en lógica booleana.   Aunque son conceptos relacionados no son exactamente lo mismo.

Sin embargo, puedes expresarlo así: $$\begin{align}x\in \big((A\cup B)^\complement\cup(B\setminus A)\big) &\iff \lnot(x\in A\lor x\in B)\lor (x\in B\land x\notin A) \\ & \iff \\ &\iff \\ &\iff x\notin A \\[2ex]\therefore\quad(A\cup B)^\complement \cup(B\setminus A)&~=~A^\complement\end{align}$$

(Ahora completa los pasos que faltan).

Answer 4

$A^c $ es todo lo que no está en A.

$(A\cup B)^c $ es todo lo que no está en $A $ o $B $ .

$(A\cup B)^c \cup B\setminus A $ es todo lo que no está en $A $ o $B $ con todo en $B $ que no está en $A $ se ha añadido de nuevo. Así que todo en $A$ se omite y todo lo que no se incluye, ya sea en $B $ o no.