¿Cuáles son las condiciones de los números enteros? $D_1$ y $D_2$ para que $\mathbb{Q}[\sqrt {D_1}] \simeq \mathbb{Q}[\sqrt {D_2}]$ como campos.

Question

¿Cuáles son las condiciones de los números enteros? $D_1$ y $D_2$ para que $\mathbb{Q}[\sqrt {D_1}] \simeq \mathbb{Q}[\sqrt {D_2}]$ como campos.

Aquí $\mathbb{Q}[\sqrt {D}] := \{a + b \sqrt D \mid a,b \in \mathbb{Q} \}$

Realmente no sé por dónde empezar con este tipo de problemas. Estaba pensando que debería dividir en casos donde el entero es un cuadrado o no.

Answer 1

Si $\Bbb{Q}[\sqrt{D}] = L \cong \Bbb{Q}[\sqrt{K}]= F$ , donde $D$ y $K$ son números enteros, entonces $D$ debe tener una raíz cuadrada en $F$ . Podemos suponer que $K$ es libre de cuadrado. Si $D = (a + b \sqrt{K})^2 = a^2 + b^2K+ 2ab\sqrt{K}$ con $a, b \in \Bbb{Q}$ Entonces, como $\sqrt{K}$ tampoco es irracional $a = 0$ o $b = 0$ . En el primer caso $D = b^2K$ en el segundo caso $D = a^2$ , lo cual es una contradicción. Por lo tanto, el primer caso se mantiene y como $K$ es libre de cuadrados $b$ debe ser un número entero. De ello se deduce que $L \cong F$ si $D = b^2K$ para algún número entero no nulo $b$ .

Answer 2

Existe una biyección entre el conjunto de enteros libres de cuadrados y el conjunto de extensiones cuadráticas de $\mathbb{Q}$ dado por $d \mapsto \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ . Excluye $1$ de ser libre de cuadratura.

Surjetividad: una extensión cuadrática de $\mathbb{Q}$ tiene la forma $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ para algún número racional $D = \pm p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}$ , donde $p_i$ son números primos y $e_i$ son números enteros. Si $e_i$ es par, entonces claramente se puede obtener la misma extensión eliminando $p_i^{e_i}$ de la factorización, por lo que podemos suponer que todos los $e_i$ son impar. Entonces $\mathbb{Q}(\sqrt{D}) = \mathbb{Q}(\sqrt{\pm p_1 \cdots p_r})$ manteniendo el mismo signo que $D$ .

Inyectabilidad: Sea $d_1, d_2$ sean enteros libres de cuadrados. Para decir que $\mathbb{Q}(\sqrt{d_1}) = \mathbb{Q}(\sqrt{d_2})$ es decir que $\sqrt{d_1} = a + b \sqrt{d_2}$ para los números racionales $a, b$ o $d_1 = a^2 + d_2 b^2 + 2ab \sqrt{d_2}$ . Desde $\sqrt{d_2} \not\in \mathbb{Q}$ debemos tener o bien $a$ o $b$ igual a $0$ . Por lo tanto, o bien $d_1 = a^2$ o $d_1 = d_2 b^2$ . Pero $d_1$ es libre de cuadrados, por lo que $a = 0$ y $b = \pm 1$ Así que $d_1 = d_2$ .

Por lo tanto, para determinar si $\mathbb{Q}(\sqrt{D_1}) = \mathbb{Q}(\sqrt{D_2})$ para los números racionales $D_i$ se puede hacer lo siguiente: escribir $D_1$ como producto de números primos $\pm p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}$ para los enteros $e_i$ . Digamos que $e_1, ... , e_t$ son enteros Impares, y $e_{t+1}, ... , e_r$ están en paz. Entonces $\mathbb{Q}(\sqrt{d_1})$ , donde $d_1 = \pm p_1 \cdots p_t$ manteniendo el mismo signo que antes. Haga lo mismo para $D_2$ , obteniendo $\mathbb{Q}(\sqrt{D_2}) = \mathbb{Q}(\sqrt{d_2})$ para algún entero libre de cuadrados $d_2$ . Por el resultado anterior, las extensiones cuadráticas dadas son iguales si y sólo si $d_1 = d_2$ .

Answer 3

La misma extensión si y sólo si $D_1$ y $D_2$ están en la misma clase de plaza. Esto significa que $D_1 D_2$ es un cuadrado.

Answer 4

Sugerencia : Primero hay que tener en cuenta que si $a,b$ son racionales, entonces ${\bf Q}[\sqrt a]\cong {\bf Q}[\sqrt b]$ si y sólo si los dos campos son iguales (basta con tomar el isomorfismo y mirar dónde lleva $\sqrt a$ sólo hay dos posibilidades, y ambas llevan a la conclusión de que $\sqrt a\in {\bf Q}[\sqrt b]$ ).

A continuación, tome cualquier $b\in {\bf Q}$ y cualquier $x\in {\bf Q}\left[\sqrt b\right]$ y utilizando el hecho de que $\sqrt b$ no es racional a menos que $b$ es un cuadrado (¡por definición!), demuestre que si $x^2$ es un número racional, entonces $x\in {\bf Q}$ o $x\in \sqrt b\cdot {\bf Q}$ . Concluir que si $\sqrt a\in {\bf Q}[\sqrt b]$ entonces $a$ es un cuadrado o $a$ es un cuadrado de veces $b$ . Concluir que ${\bf Q}[\sqrt b]={\bf Q}[\sqrt a]$ para $b\neq 0$ si y sólo si $\frac{a}{b}$ es un cuadrado.