¿Generación automática de un gráfico paramétrico?

Question

Actualmente estamos introduciendo las integrales de los colectores en $3d$ -Espacio en un curso. Se nos da un conjunto $E \subset \mathbb{R}^3$ y debe evaluar la superficie y escudriñar su aspecto.

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Para ejemplo debemos evaluar la superficie bidimensional del conjunto dado por

$E=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3: 0 < z = x^2 + y^2 < 2^2 \}$

Por supuesto, el enfoque estándar para resolver esta sencilla tarea es parametrizar primero el conjunto con, por ejemplo

$\phi(u,t)=\left(\sqrt[4]{u^2} \cos (t),\sqrt[4]{u^2} \sin (t),u\right)$

donde $t \in (0,2\pi), u \in (0,2^2)$ . La trama parece:

Generado por "ParametricPlot3D[Phi[u, t], {t, 0, 2 Pi}, {u, 0, 2^2}]" en mathematica.

Utilizando la fórmula de los colectores se puede evaluar la superficie mediante

A = JacobianMatrix[Phi[u, t], {u, t}]
FullSimplify[ Integrate[Sqrt[Det[Transpose[A].A]], {u, 0, 4}, {t, 0, 2*Pi}]]

Lo que produce $\frac{1}{6} \left(17 \sqrt{17}-1\right) \pi$

un enfoque más elegante sería notar que el gráfico se genera al girar la función $f(x)=\sqrt{x}$ alrededor del eje x en el intervalo $(0,2^2)$ y evaluar

2*Pi*Integrate[f[x]*Sqrt[1 + (f'[x])^2], {z, 0, 4}] 

que da el mismo resultado.

Como me gusta generalizar las soluciones a este tipo de problemas, intento encontrar una posibilidad de introducir dicho conjunto de forma natural y obtener los dos resultados anteriores, es decir, el gráfico y la superficie, sin hacer ningún trabajo por mi cuenta. Sin embargo, incluso la generación del gráfico parece ser muy difícil sin parametrizar el conjunto a mano. Una aproximación para relajar un poco la igualdad y usar el método de regionplot falla descaradamente:

    RegionPlot3D[ Abs[z - x^2 + y^2] <= 0.3 && x^2 + y^2 < 4, {x, -3, 3}, {y, -3, 
  3}, {z, 0, 4}]

resultados en la salida:

Y no tengo ni idea de cómo dejar que Mathematica se aproxime a la superficie del objeto.

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¿Existe algún enfoque genérico para trazar y determinar la superficie del conjunto, sin tener que parametrizarlo?

Answer 1

ContourPlot3D\[z == x^2 + y^2, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, {z, 0, 4}\]

_{(fuente: <a href="http://yaroslavvb.com/upload/ineq.png" rel="nofollow noreferrer">yaroslavvb.com </a>)}