Simetría del Tensor de Tensión de Cauchy $3\times 3$

Question

Cuando se presenta el tensor de esfuerzos (digamos en un contexto no relativista), se muestra que es un tensor en el sentido de que es una transformación lineal de vectores: opera sobre un vector $n$ (la normal a una superficie), y devuelve un vector $t_n$ que es el vector de tracción. Luego se muestra que la conservación del momento angular conduce a la simetría de la matriz.

Sin embargo, los tensores se presentan de manera más natural como funciones multilíneales. Me pregunto:

• ¿Qué tipo de tensor es el tensor de esfuerzos de Cauchy? ¿Es $n$ un vector o un co-vector? ¿Y $t_n$?
• ¿Hay alguna forma de entender la simetría al pensar en el tensor de esfuerzos como una función de dos vectores (o dos co-vectores), bajo la cual parezca intuitivo por qué $\sigma(A,B) = \sigma(B,A)$?

Editar: Para aclarar, veamos, por ejemplo, la 1ª coordenada del vector de tracción $t_n$ de una normal arbitraria $n$: Esto es $\left$. Por simetría, esto es equivalente a $\left$ - el producto interno de $n$ con el vector de tracción de una superficie ortogonal a $e_1$. Matemáticamente, entiendo por qué es correcto. Pero ¿hay algún significado intuitivo de por qué estas dos cantidades son iguales?

Answer 1

Hablando sobre el tensor de esfuerzos de Cauchy en la mecánica clásica, la respuesta a tu primera pregunta es que no importa, ya que tienes una métrica en coordenadas arbitrarias inducida por el producto punto del espacio euclidiano subyacente.

Puedes explotar la simetría del tensor de esfuerzos de Cauchy a partir del equilibrio del momento angular asumiendo que no hay esfuerzos de torsión, es decir, fuentes de momento angular. La prueba a menudo procede probando la tracción $\sigma_{ij} n_j$ mediante un campo a-tu-extensión-arbitraria $\phi_i$ y utilizando los balances de momento lineal y angular. Por ejemplo, puedes examinar $\epsilon_{imn}x_n \sigma_{ij} n_j$ como se hace en el artículo Principio de los Esfuerzos de Euler-Cauchy en Wikipedia. Así que puedes aplicar $\sigma(A, B)$ a $n$ y cualquier cantidad para que tenga sentido multiplicándola por la fuerza. No creo que alguna afirmación intuitiva pueda ser expresada como $\sigma(A,B)=\sigma(B,A)$.

Por otro lado, en Gurtin, M. E.: Una Introducción a la Mecánica del Continuo (prueba del teorema de Cauchy, capítulo V, sección 14) la tracción es probada por un desplazamiento rígido infinitesimal y se utiliza el equilibrio de momento angular y lineal (en forma del teorema del trabajo virtual con el mencionado desplazamiento). Luego, después de algunas manipulaciones, llegas a $\sigma_{ij}W_{ij}=0$ para todo $W$ oblicuo donde $W$ es el gradiente de deformación de este desplazamiento.

Para hacerlo más intuitivo simplemente considera que $\sigma_{ij}\mathbf{v}_{i,j}$ es el trabajo realizado por las fuerzas internas de superficie. Ningún trabajo de este tipo puede hacerse con movimientos rígidos cuando $\mathbf{v}_{i,j}$ es oblicuo. Por lo tanto, $\sigma$ debe ser simétrico.

Answer 2

La respuesta a tu primera pregunta es que todas las interpretaciones posibles son válidas. En la mecánica clásica de continuidad, la métrica euclidiana te permite traducir de forma unívoca entre vectores y covectores, por lo que tanto $n$ como $t_n$ pueden ser cualquiera. La elección del tipo para la "entrada" y la "salida" determina entonces el tipo de tensor que será el tensor de energía y esfuerzo.

En entornos más generales esto también se cumple: hablar sobre la simetría del tensor requiere la especificación de una métrica, en cuyo caso los vectores y covectores pueden ser identificados de forma unívoca. Si no hay una métrica presente, la única forma de hablar de la simetría del tensor es verlos como formas multilineales.

Normalemente elegirías que tanto $n$ como $t$ (dejaré de lado el ${}_n$) fueran vectores, en cuyo caso la identidad del tensor $t=Sn$ se lee en términos de componentes como $t^i=S^i_{\phantom{i}j}n^j$, y $S$ debería ser visto como un operador lineal de $E^3$ a sí mismo, y es simétrico en el sentido de que $\langle u,Sv\rangle=\langle Su,v\rangle$ para todo $u,v\in E^3$, donde $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es la métrica euclidiana en $E^3$.

Este tipo de simetría tiende a poner nerviosa a algunas personas, sin embargo. En este caso puede ser útil tomar a $n$ como un vector y $t=Sn$ como un covector, en cuyo caso $t_i=S_{ij}n^j$, y la simetría de $S$ es en términos de componentes $S_{ij}=S_{ji}$. Aquí $S$ debe ser visto como una forma bilineal simétrica $S(v,n)=S(n,v)$, dada por $S(v,n)=(Sn)(v)=t(v)=t_iv^i=v^iS_{ij}n^j$.

Por lo tanto, la conclusión es que la simetría puede ser de cualquier tipo que desees, siempre y cuando elijas los tipos de (co)vector adecuados para la entrada y la salida.