Una ecuación funcional mientras se intenta integrar una función de forma diferente

Question

He aquí una ecuación funcional :

Para $f : \mathbb (0,\infty) \to \mathbb R$ continua no constante, $f$ tiene la propiedad de que para cada $b,x,y>0$ , $f(1) = -1$ y $$ f(x) - f(y) = b(f(bx) - f(by)) $$

Quiero demostrar que las únicas soluciones posibles son $f(x) = a-\frac {a+1}x$ para alguna constante $a$ sin utilizar ninguna forma de cálculo (con la excepción de los límites, si es necesario).

Para una aproximación, hay demasiadas variables libres, así que intenté establecer $b$ a un valor determinado, por ejemplo $b=2$ . Entonces me sale : $$ f(x)-f(y) = 2(f(2x) - f(2y)) $$

pero no sé cómo proceder: no puedo usar esto para encontrar un valor particular de cualquier $x$ porque el valor de $x$ depende del valor de $2x$ y así sucesivamente, por lo que no hay forma de proceder que se me ocurra. Esto también me hace pensar que falta información, pero eso no parece probable porque en presencia de tres variables restrictivas y el dominio, algún tipo de unicidad debe mantenerse, ¿no?

Configurar $g(x) = xf(x)$ y tratar de demostrar que es constante también ha resultado inútil, por la misma razón que antes.

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Contexto : Este puesto contiene la pregunta que intento responder.

Dejemos que $f : (0,\infty) \to \mathbb R$ sea una función que satisfaga $f(x)-f(y) = \int_y^x \frac{dt}{t^2}$ para todos $y,x>0$ . Con el arreglo $f(1) = -1$ sabemos que existe una función única $f$ que satisface estas condiciones, dadas por $f(x) = -1 + \int_1^x \frac{1}{t^2}dt = -\frac 1x$ . Intenté localizar tal $f$ sin utilizar el cálculo, sino utilizando ecuaciones funcionales.

La lógica era la siguiente: dejar que $b>0$ sea arbitraria, y en la expresión $\int_x^y \frac{dt}{t^2}$ , hacer el cambio de variables $bt =u$ para que $bdt = du$ . En consecuencia, obtenemos : $$ f(x)-f(y) = \int_x^y \frac{dt}{t^2} = \int_{bx}^{by} \frac{b^2du}{u^2} = b \int_{bx}^{by} \frac{du}{u^2} = b(f(bx)-f(by)) $$

y así sale la ecuación funcional. Ahora bien, si puedo utilizar técnicas no calcúlicas para demostrar que esta ecuación funcional se satisface sólo con $-\frac 1x$ entonces habré obtenido la antiderivada de $\frac 1{x^2}$ .

Answer 1

En este caso, más variables libres es mejor: supongamos $$f(x)-f(y) = z(f(xz)-f(yz))$$ para $x,y,z>0$ . Entonces, $$f(x)-z\,f(xz)=f(y)-z\,f(yz),$$ lo que significa que la expresión depende sólo de $z$ : $$f(x)-z\,f(xz)=g(z).$$ Dejar $x=1$ vemos que $g(z)=-1-z\,f(z)$ es decir, tenemos $$f(x)-z\,f(xz)=-1-z\,f(z).$$ Intercambio de $x$ y $z$ obtenemos $$f(z)-x\,f(xz)=-1-x\,f(x),$$ multiplicando la primera ecuación por $x$ y el segundo por $z$ y restando, llegamos a $$x\,f(x)-z\,f(z)=-x+z+xz(f(x)-f(z)).$$ Esta ecuación tiene que ser válida para cualquier $x,z>0$ sustituyendo cualquier valor constante $z_0\neq1$ para $z$ vemos que $x\,f(x)=ax+b$ . Desde $f(1)=-1$ Esto significa que $b=-a-1$ es decir $x\,f(x)=ax-a-1$ .

Answer 2

Supongamos que tenemos una ecuación funcional $$ x(f(x)-f(x\,y)) = z(f(z)-f(z\,y)) \tag{1}$$ que es válida para todo $\,x,y,z>0.\,$ Queremos soluciones para $\,f(x)>0.$ Dado que esta ecuación se mantiene para todos los $\,x,z>0\,$ ambas partes dependen sólo de $\,y.\,$ llámalo $\,g(y).\,$ Por lo tanto, si $\,z=1\,$ definimos $$ g(x) := f(1)-f(x). \tag{2} $$ Ecuaciones $(1)$ y $(2)$ implican que $$ f(x) - f(x\,y) = g(y)/x. \tag{3} $$ Añadir ecuaciones $(2)$ y $(3)$ para conseguir $$ f(1) - f(x\,y) = g(x) + g(y)/x. \tag{4} $$ Reescribir el lado izquierdo de la ecuación $(4)$ utilizando la ecuación $(2)$ para conseguir $$ g(x\,y) = g(x) + g(y)/x. \tag{5} $$ Eliminar el denominador en la ecuación $(5)$ definiendo $$ h(x) := x\,g(x). \tag{6} $$ Reescribir la ecuación $(5)$ utilizando la ecuación $(6)$ para conseguir $$ h(x y) = h(x)y + h(y). \tag{7} $$ Definir el límite $$ c := \lim_{x\to 0} h(x). \tag{8} $$ El límite como $\,x\to 0\,$ de la ecuación $(7)$ es $$ c = c\,y + h(y). \tag{8} $$ Resolver la ecuación $(8)$ para $\,h\,$ para conseguir $$ h(y) = c - c\,y. \tag{9} $$ Utilizando ecuaciones $(9)$ , $(6)$ y $(2)$ para conseguir $$ f(x) = f(1) + c - c/x. \tag{10} $$ La ecuación original de la pregunta era $$ f(x)-f(y)=b(f(b\,x)-f(b\,y)). \tag{11} $$ Sustitución de $\,y\,$ por $\,x\,y\,$ y $\,b\,$ con $\,z/x\,$ en esta ecuación es equivalente a nuestra ecuación $(1)$ .

EDIT: Esta versión es más sencilla que la anterior del 22 de enero de 2021.