¿Cómo determinar los límites integrales de la transformada wavelet continua?

Question

Ahora tengo una función $f(x)$ y su intervalo de apoyo es $x\in[T_0,T_1]$ . El intervalo de soporte de la ondícula madre $\psi(x)$ es $x\in[-\Delta,+\Delta]$ . Y también sabemos que la transformada wavelet continua es $$ W(a,b) = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\Psi(\frac{t-b}{a})\text{d}t $$

Según la fórmula anterior, parece que hay que hacer la integración desde $-\infty$ a $+\infty$ . Sin embargo, no tenemos que hacerlo ya que ese $f(x)$ y $\psi(x)$ son un soporte compacto. Así que mi pregunta es ¿Cómo determinamos los límites integrales adecuados?

• Aquí está mi intento:

Según "el intervalo de soporte de la ondícula madre $\psi(x)$ es $x\in[-\Delta,+\Delta]$ ", sabemos que $$ -\Delta\leq\frac{t-b}{a}\leq\Delta\, \,\Rightarrow \, \, b-a\Delta\leq t \leq b+a\Delta $$

Y porque el intervalo de apoyo de $f(t)$ es $[T_0,T_1]$ tenemos $$ T_0\leq t \leq T_1 $$

Pero no sé qué debo hacer a continuación. ¿Si podríamos determinar los límites de la integral por estas dos desigualdades anteriores?

Answer 1

Parece que tus límites de integración deberían ser simplemente la intersección de los intervalos que has especificado. Es decir, el producto $f(t)\Psi\left(\frac{t-b}{a}\right)$ es cero siempre que $$t\notin A \triangleq\left([ba, b+a]\bigcap[T_0, T_1]\right)$$ Así que $$ \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\Psi\left(\frac{t-b}{a}\right)dt = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{\min A}^{\max A}f(t)\Psi\left(\frac{t-b}{a}\right)dt $$ Ejemplo: Para =10, a=1, b=2, $T_0=-3$ , $T_1=35$ , $\min A=-3$ y $\max A=12$