El campo vectorial matador no puede tener ceros aislados en dimensiones Impares

Question

Dejemos que $(M, g)$ sea una variedad Riemanniana impar-dimensional, y sea $X$ sea un campo vectorial de Killing en $M$ (es decir $L_X g = 0$ ). Demostrar que $X$ no puede tener ceros aislados.

Sé que si $X$ desaparece en un punto $p \in M$ entonces $X$ es tangente a las pequeñas esferas geodésicas alrededor del punto $p$ por lo que es normal a lo largo de toda geodésica radial que parta de $p$ . Sin embargo, no sé cómo utilizar estas propiedades para demostrar que debe haber otros ceros de $X$ en bolas geodésicas arbitrariamente pequeñas centradas en $p$ . En particular, no sé cómo utilizar el hecho de que la dimensión de $M$ es impar.

Answer 1

Usando el comentario de @JasonDeVito, arreglar $p \in M$ y asumir que $X_p = 0$ . Entonces, sabemos que $X$ es tangente a las pequeñas esferas geodésicas centradas en $p$ .

Sin embargo, sabemos que estas esferas geodésicas son los conjuntos de niveles de la función $q \mapsto d_g(p, q)$ (que es suave por fuera $p$ y tiene campo vectorial de gradiente unitario, por lo que es una inmersión), y por tanto son de codimensión $1$ submanifolds incrustados, por lo que, en particular, son de dimensiones pares.

Estas esferas geodésicas también son difeomorfas a la esfera unitaria estándar en su respectiva dimensión; esto se debe a que $\mathrm{exp}_p$ es un difeomorfismo local en $0 \in T_pM$ porque $g_p$ es el producto interior euclidiano estándar, y porque $\mathrm{exp}_p$ mapea las pequeñas esferas euclidianas centradas en $0 \in T_pM$ a las pequeñas esferas geodésicas centradas en $p \in M$ . Así que, por el teorema de la bola peluda, $X$ debe desaparecer en algún otro punto de cada pequeña esfera geodésica centrada en $p$ Así que $p$ no es un cero aislado.