¿Están conectados estos teoremas paralelos de la Teoría de Conjuntos y el Álgebra Lineal a través de la Teoría de Categorías?

Question

De la Teoría de Conjuntos y el Álgebra Lineal, tenemos estos dos teoremas:

1. Dados dos conjuntos finitos de la misma cardinalidad $X$ y $Y$ y una función $f:X\rightarrow Y$ , los siguientes son equivalentes:
   • $f$ es una biyección
   • $f$ es una inyección
   • $f$ es un suryecto
2. Dados dos espacios vectoriales de dimensión finita de la misma dimensión $V$ y $W$ y un mapa lineal $T:V\rightarrow W$ , los siguientes son equivalentes:
   • $f$ es un isomorfismo
   • $f$ es un monomorfismo
   • $f$ es un epimorfismo

La naturaleza paralela de estos teoremas sugiere que están relacionados. Y tengo el presentimiento de que la teoría de las categorías puede hacer explícita la relación.

Los funtores preservan los isomorfismos en general, así que si puedo encontrar una combinación de funtores que preserven los epimorfismos y los monomorfismos de forma conveniente, podemos demostrar que el primer teorema implica el segundo.

Sé que hay un par adjunto $G\dashv F$ donde $F$ es el functor de olvido de Vect $_K$ a Establecer y $G$ es el functor que envía un conjunto al espacio vectorial libre generado por él. Y también sé que tanto $F$ y $G$ son fieles (pero no en su totalidad).

Pero estoy teniendo dificultades para conseguir que estos hechos funcionen bien. Se agradece cualquier ayuda para que mis ideas sean rigurosas, o una explicación de por qué estoy ladrando al árbol equivocado.

EDITAR

Si consideramos el functor libre v.s. de FinSet a FinVect $_K$ tendremos entonces un functor fiel. Dado que los funtores fieles reflejan monomorfismos y epimorfismos, si podemos encontrar un mapa paralelo mono (o épico) que esté en el rango del functor v.s. libre para cada mapa mono (o épico) que encontremos, podremos demostrar que el 1er teorema implica el 2º. Utilizando el hecho de que los espacios vectoriales de la misma dimensión son isomorfos, podemos concluir que el functor v.s. libre también es denso. Por tanto, si $V$ y $W$ son espacios vectoriales de la misma dimensión, y $m:V\hookrightarrow W$ estaríamos acabados si pudiéramos encontrar un $f:X\rightarrow Y$ lo que hace que el siguiente diagrama sea conmutable:

$\hskip2in$

Estoy seguro de que una inteligente elección de bases en $V$ y $W$ y las elecciones posteriores para los isomorfismos lo harían posible, pero estas elecciones utilizan esencialmente el 2º teorema. Y este enfoque no parece trasladarse a los epimorfismos.

Answer 1

En primer lugar, hay una conexión puramente lingüística: Un objeto $A$ de una categoría se llama Hopfian (o co-hopfiano) si todo epimorfismo (o monomorfismo) $A \to A$ es un isomorfismo. Los objetos hopfianos en $\mathsf{Set}$ son precisamente los conjuntos finitos, los objetos hopfianos en $\mathsf{Vect}_K$ son precisamente los espacios vectoriales de dimensión finita. En realidad, éstos son también los objetos coopfianos. En el caso de los espacios vectoriales de dimensión finita esto se debe a que admiten una autodualidad, a saber, el espacio vectorial dual. Para ver más ejemplos de objetos hopfianos, consulte el artículo de Wikipedia.

Cabe preguntarse si la caracterización de los objetos hopfianos en $\mathsf{Set}$ es equivalente a la de $\mathsf{Vect}_K$ . Aquí está una prueba de una parte de $\Rightarrow$ :

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial hopfiano. Elegir una base $B$ . Entonces $B$ es un conjunto hopfiano: Cada suryección $f : B \to B$ induce una suryección lineal $\overline{f} : V \to V$ que debe ser un isomorfismo. En particular es inyectiva, por lo que también su restricción $f$ es inyectiva, es decir $f$ es un isomorfismo. Como $B$ es Hopfiano, es finito, y por lo tanto $V$ es de dimensión finita. A la inversa, si $V$ es de dimensión finita, entonces $V$ es Hopfiano, pero dudo que esto pueda reducirse a la teoría de conjuntos.

Una prueba concisa de esto muestra primero que los espacios vectoriales de dimensión finita son noetherianos, y luego se muestra que Objetos noetherianos en categorías abelianas son Hopfianos: Si $f : A \to A$ es un epimorfismo, entonces $\ker(f) \subseteq \ker(f^2) \subseteq \dotsc$ tiene que estabilizarse, digamos $\ker(f^n)=\ker(f^{n+1})$ . Entonces $\ker(f)=\ker(f) \cap \mathrm{im}(f^n)=f^n(\ker(f^{n+1}))=f^n(\ker(f^n))=0$ .

Mientras escribo esto, me doy cuenta de que también se puede realizar una prueba análoga en categorías no lineales como $\mathsf{Set}$ (... los detalles pueden ser encontrados por el lector interesado...).