aplicaciones o ejemplos de la desigualdad triangular generalizada en matemáticas

Question

Me he preguntado si existe una versión generalizada de la desigualdad del triángulo que sea útil en matemáticas. Hace poco vi la definición de un espacio métrico, y me pregunté qué pasaría si quieres una función que satisfaga las dos primeras condiciones de una función métrica pero que en lugar de la tercera condición, satisfaga algo como $d(x_{1}, x_{n}) \leq d(x_{1}, x_{2}) + ... + d(x_{n-1}, x_{n}))$ ? ¿Aparece una desigualdad como ésta en algún otro lugar de las matemáticas? Si no es así, ¿por qué tener esta desigualdad generalizada con $n = 3$ ¿tan especial? He mirado el ejemplo de polígono del artículo de la wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_inequality#Generalization_of_the_inequality_to_any_polygon y trató de leer http://www.icm2006.org/proceedings/Vol_II/contents/ICM_Vol_2_35.pdf pero eso está por encima de mi nivel ahora mismo. Se agradece cualquier ayuda/consejo. Gracias.

Sinceramente,

Vien

Answer 1

Como dice el artículo de Wikipedia, la desigualdad triangular ordinaria implica todas las versiones con $n>3$ . Por ejemplo, podemos utilizar la desigualdad triangular ordinaria para ver que

$$\begin{align*} d(x_1,x_4)&\le d(x_1,x_3)+d(x_3,x_4)\\ &\le\Big(d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3)\Big)+d(x_3,x_4)\\ &=d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3)+d(x_3,x_4)\;, \end{align*}$$

y este proceso puede extenderse claramente a un tamaño arbitrario $n$ . (Técnicamente, esto se hace por inducción).

Además, cada una de las versiones con $n\ge 3$ implica la versión ordinaria. Una vez más, utilizaré $n=4$ como ejemplo. Si $$d(x_1,x_4)\le d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3)+d(x_3,x_4)$$ para todos $x_1,x_2,x_3,x_4$ entonces podemos tomar en particular $x_3=x_4$ para conseguir

$$\begin{align*} d(x_1,x_4)&\le d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3)+d(x_3,x_4)\\ &=\le d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3)+d(x_3,x_3)\\ &=\le d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3)+0\\ &=\le d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3)\;, \end{align*}$$

que es la desigualdad triangular ordinaria.

En otras palabras, todas estas versiones son equivalentes, así que podríamos quedarnos con la más sencilla y fácil de motivar para nuestra definición.