Demostrar que $l^2$ es un espacio de Hilbert

Question

Sea $l^2$ el espacio de secuencias cuadradas sumables con el producto interno $\langle x,y\rangle=\sum_\limits{i=1}^\infty x_iy_i$. (a) Demuestre que $l^2$ es un espacio de H Hilbert.

Para mostrar que es un espacio de Hilbert, necesito mostrar que el espacio está completo. Para eso necesito construir una sucesión de Cauchy y mostrar que converge con respecto a la norma. Sin embargo, me parece confuso construir una secuencia de secuencias de Cauchy.

Answer 1

Sea $(\mathbf{x_n})$ una sucesión de Cauchy en $l^2$, donde $\mathbf{x_n} = (x_1^{(n)},x_2^{(n)},\ldots)$, es decir, dado $\epsilon >0$ existe un número natural $N$ tal que para todo $m,n\geq N$ \begin{equation} \|\mathbf{x_n}-\mathbf{x_m}\| = \left(\sum_\limits{j=1}^{\infty}|x_j^{(n)}-x_j^{(m})|^2\right)^{\frac{1}{2}} <\epsilon \end{equation} En particular, se sigue que por cada $j=1,2,\ldots$ tenemos \begin{align} |x_j^{(n)}-x_j^{(m)}| < \epsilon && (m,n\geq N). \end{align} Es decir, para cada $j$ fijo, la secuencia $(x_j^{(n)},x_j^{(n)},\ldots)$ es una secuencia de Cauchy en el campo escalar $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ y, por lo tanto, converge. Dejar como $x_j^{(n)} \to x_j$. Usando estos límites ahora defina $n \to \infty$. Ahora, con esta configuración básica, intente mostrar que $\mathbf{x} = (x_1,x_2,\ldots)$ converge a $(\mathbf{x_n})$.

Answer 2

Pista: Sea $(x^n)$ una sucesión de Cauchy. Podemos escribir $x^n=\sum _k x_k^ne_k$ donde $(e_k)$ es la base canónica. Mostrar $|x_k^n-x_k^m|\leq \|x^n-x^m\|$ para que $(x_k^n)_n$ sea una secuencia de Cauchy en $\mathbb{C}$, para que exista $x_k$ tal que $\lim x_k^n=x_k$ para cada $k$. Defina $x=\sum x_ke_k$ y demuestre que $\|x^n-x\|\to 0$.