¿Cómo podría utilizarse la notación de índices para demostrar esta identidad?

Question

¿Cómo utilizarías la notación de índices para demostrar que $\underline{\nabla} \times (\underline{u} \times \underline{v})=(\underline{\nabla} \cdot \underline{v}) \underline{u}-(\underline{\nabla} \cdot \underline{u}) \underline{v}+(\underline{v} \cdot \underline{\nabla}) \underline{u}-(\underline{u} \cdot \underline{\nabla}) \underline{v}$ ?

Mi intento fue el siguiente:

Empezando por el lado izquierdo de la ecuación, tenemos

\begin{align} \underline{\nabla} \times (\underline{u} \times \underline{v})&=\varepsilon_{ijk}\frac{\partial}{\partial x_{j}}\varepsilon_{klm}u_{l}v_{m}=\varepsilon_{kij}\varepsilon_{klm}\frac{\partial}{\partial x_{j}}u_{l}v_{m}\\& =(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})(v_{m} \frac{\partial u_{l}}{\partial x_{j}}+u_{l} \frac{\partial v_{m}}{\partial x_{j}}) \\ &=\delta_{il}\delta_{jm}v_{m} \frac{\partial u_{l}}{\partial x_{j}}+\delta_{il}\delta_{jm}u_{l} \frac{\partial v_{m}}{\partial x_{j}}-\delta_{im}\delta_{jl}v_{m} \frac{\partial u_{l}}{\partial x_{j}}-\delta_{im}\delta_{jl}u_{l} \frac{\partial v_{m}}{\partial x_{j}}\end{align}

Sin embargo, no estoy seguro de dónde ir a partir de aquí. ¿Algún consejo?

Answer 1

Tu planteamiento es erróneo desde el propio primer paso, ya que el R.H.S. de la 1ª línea es un escalar, pero debería ser un vector.

Debería ser como sigue: $$\nabla \times (u \times v) = \epsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_i}(u \times v)_j \hat e_k$$ $$=\epsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_i}(\epsilon_{lmj} \,\ u_l \,\ v_m ) \hat e_k$$ $$=\epsilon_{ijk} \epsilon_{lmj} \frac{\partial}{\partial x_i}( u_l \,\ v_m ) \hat e_k$$ $$=\epsilon_{kij} \epsilon_{lmj} \left[v_m\frac{\partial u_l}{\partial x_i}+u_l\frac{\partial v_m}{\partial x_i}\right] \hat e_k$$ $$=(\delta_{kl} \delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il}) \left[v_m\frac{\partial u_l}{\partial x_i}+u_l\frac{\partial v_m}{\partial x_i}\right] \hat e_k$$ $$=\delta_{kl} \delta_{im}\left[v_m\frac{\partial u_l}{\partial x_i} \hat e_k+u_l\frac{\partial v_m}{\partial x_i} \hat e_k\right]-\delta_{km}\delta_{il} \left[v_m\frac{\partial u_l}{\partial x_i} \hat e_k+u_l\frac{\partial v_m}{\partial x_i} \hat e_k\right]$$ $$=\left[(v_m\frac{\partial }{\partial x_m}) (u_k \hat e_k) + (u_k \hat e_k)\frac{\partial v_i}{\partial x_i} \right]-\left[(v_k \hat e_k)\frac{\partial u_i}{\partial x_i} + (u_i\frac{\partial }{\partial x_i}) (v_k \hat e_k)\right]$$ $$=(v \cdot \nabla)u+u(\nabla \cdot v)-v(\nabla \cdot u)-(u \cdot \nabla)v$$ $$=(\underline{\nabla} \cdot \underline{v}) \underline{u}-(\underline{\nabla} \cdot \underline{u}) \underline{v}+(\underline{v} \cdot \underline{\nabla}) \underline{u}-(\underline{u} \cdot \underline{\nabla}) \underline{v}$$

Espero que esta prueba ayude.