¿qué es la firma de q?

Question

Para $ R$ , dejemos que $q(x_1, x_2) =x_1^2 + 2x_1x_2 + \frac{1}{2}x_2^2$ para $(x_1,x_2) \in R^2$

b) encontrar todos los valores de $\alpha$ para el que la firma de q es 1.

mis intentos : como se que

firma (s) =número total de entradas positivas - número total de entradas negativas

\= $ p -(r-p) = 2p-r$ donde r es el rango de la matriz

$q = \begin{bmatrix} 1& 1\\1&\frac{1}{2}\end{bmatrix}$

ahora por la operación elemental

$q = \begin{bmatrix} 1& 1\\0&0\end{bmatrix}$

aquí $s = 2.1 -1$ donde $ r= 1,p =1 $

por lo tanto, firma(s) de $ q =1 $ para $\alpha =1$

es mi respuesta es correcta o no ?????

Answer 1

HINT

Consideremos la matriz asociada

$$\begin{bmatrix} 1& \alpha\\\alpha&\frac12\end{bmatrix}$$

por Criterio de Sylvester nota que

• $\det(1)=1$
• $\det A=\frac12-\alpha^2\implies \det A>0 \iff-\frac{\sqrt 2}2<\alpha<\frac{\sqrt 2}2$