Cómo demostrar que $\mathbb{E}(\lim_{n \to \infty} X_n) = 0$ cuando $X_n(x) := n \cdot 1_{[0,\frac{1}{n}]}(x) \qquad (x \in [0,1])$

Question

De la respuesta de Cambiar el límite y la expectativa por $L^2$ variables aleatorias :

Consideremos, por ejemplo, el espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) := ([0,1],\mathcal{B}([0,1]),\lambda|_{[0,1]})$ y definir $X_n$ por $$X_n(x) := n \cdot 1_{[0,\frac{1}{n}]}(x) \qquad (x \in [0,1])$$ Entonces puede mostrar fácilmente $\|X_n\|_2<\infty$ pero $$1 = \lim_{n \to \infty} \underbrace{\mathbb{E}X_n}_{1} \not= \mathbb{E}(\underbrace{\lim_{n \to \infty} X_n}_{0})=0$$

Pero por alguna razón no puedo ver por qué $\lim_{n \to \infty} X_n = 0$ . Puede que esté entendiendo mal las anotaciones, cosas como $\lambda|_{[0,1]}$ o que $X_n$ se refiere exactamente. ¿Puede alguien mostrar cómo $\lim_{n \to \infty} X_n = 0$ ¿se traduce en?

Answer 1

$\lim_{n \to \infty} X_n$ es el límite puntual de $X_n$ .

En realidad, el límite puntual de $X_n$ es $0$ casi seguro, es $0$ en todas partes excepto en $0$ . ¿Por qué? Excepto en $x=0$ , $\lim_{n \to \infty} X_n(x) = 0$ ya que siempre existe $n$ tal que $\frac{1}{n} < x$ .

La expectativa de una función que es $0$ casi seguro que es $0$ .