Mi profesor me acaba de hacer una pregunta de este tipo pero no sé cómo empezar y resolverla en absoluto. ¿Puede alguien ayudarme con eso?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Oli
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89
Una pista: El número es impar, por lo que todos sus factores primos son impar. ¿Podrían ser todos desagradables (terminan en $1$ o $5$ o $9$ ? Examine los productos de los números desagradables. Verás que todos son desagradables.
Observación: Tenga en cuenta que un buen número puede tienen algunos factores primos desagradables. Por ejemplo, $77$ tiene el desagradable factor primo $11$ pero también tiene el bonito factor primo $7$ . Obsérvese también que el producto de números agradables puede ser desagradable, ejemplo $3\cdot 7=21$ .
princelrc85
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6
Intentemos la eliminación:
Los números que terminan en 3 o 7 son Impares, por lo que deben estar formados por factores que terminan en {1, 3, 5, 7, 9} (excluyendo los números pares)
Los números que tienen como factor el 5 darán lugar a números que terminan en 0 y 5 solamente. Por lo tanto, el número debe tener factores que terminen en {1, 3, 7, 9}
Los números que terminan en 1 pueden o no estar en la lista de factores, ya que al multiplicar 1 se obtiene el mismo número. {3, 7, 9} .
Los números que terminan en 9 solo no pueden estar ahí como factores primos porque 9 * 3 \= 2 7 y 9 * 7 \= 6 3 es decir, el 9 necesita números que terminen en 3 o 7 para satisfacer la definición de número bonito. Por lo tanto, para los factores de un número bonito, los números que terminan con cualquiera de {3, 7} son imprescindibles.
barak manos
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17078
Dejemos que $n$ denotan un buen número.
Cada factor primo de $n$ termina con $1$ o $3$ o $7$ o $9$ .
Supongamos por contradicción que cada factor primo de $n$ termina con $1$ o $9$ .
Dejemos que $m$ denotan el número de factores primos que terminan en $9$ .
Si $m$ es incluso entonces $n$ termina con $1$ ya que $9^m=9^{2k}=81^k\equiv1\pmod{10}$ .
Si $m$ es impar entonces $n$ termina con $9$ ya que $9^m=9^{2k+1}=81^k\cdot9\equiv9\pmod{10}$ .
Por lo tanto, uno de los factores principales de $n$ debe terminar con ninguno de los dos $1$ ni $9$ .
Por lo tanto, uno de los factores principales de $n$ debe terminar con $3$ o $7$ .
Por lo tanto, uno de los factores principales de $n$ es agradable.
RawX
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66
Considere dos números cualesquiera $x,y$ para que el producto $xy$ termina en $3$ o en $7$ Esto significa que el producto de los dígitos de la derecha $a,b$ respectivamente, deben terminar en $3$ o en $7$ Desde $3,7$ son primos Impares, sus dígitos más a la derecha deben ser uno de los pares: $(1,3),(3,1)$ para los que terminan en $3$ o $(1,7),(7,1)$ para los que terminan en $7$ . Obsérvese que esto también es trivialmente cierto para los números que terminan en primos en { $0,1,..,9$ }.
