Intento resolver la siguiente integral, $$-\int_\mathbb{R}\frac{\varepsilon}{(\mu-\lambda)^2+\varepsilon^2}f(\mu)\,d\mu, $$ con $\varepsilon >0$ , $\lambda\in\mathbb{R}$ , $\mu\in\mathbb{R}$ y $f\in\mathcal{C}^\infty_c(\mathbb{R})$ . He intentado utilizar la integración por partes con $$v'=\frac{\varepsilon}{(\mu-\lambda)^2+\varepsilon^2} \Rightarrow v = \arctan\left(\frac{\mu-\lambda}{\varepsilon}\right) $$ $$ u=f(\mu)\Rightarrow u'=f'(\mu) .$$ Con esto lo conseguí, $$-\int_\mathbb{R}\frac{\varepsilon}{(\mu-\lambda)^2 + \varepsilon^2} f(\mu)\,d\mu = -\left(\left[\arctan\left(\frac{\mu-\lambda}{\varepsilon}\right)f(\mu)\right]-\int_{\mathbb{R}} \arctan\left(\frac{\mu-\lambda}{\varepsilon}\right)f'(\mu) \, d\mu\right) $$ Ahora la primera parte de la RHS es cero porque $f$ se soporta de forma compacta. Mi problema es que no sé cómo proceder con la parte restante. He intentado la integración por partes aquí también pero no lo he conseguido. Ahora mi pregunta es si he pasado algo por alto o mis cálculos anteriores están mal.
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Sólo algunos consejos
Si he entendido bien, quiere evaluar $I(\lambda)=\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\mathbb R} \frac \epsilon {(\mu - \lambda)^2 + \epsilon^2} f(\mu) \, d\mu$ (es decir $\epsilon$ es infinitesimal). Se puede reescribir la integral en la forma $$I(\lambda)=\lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{-i}{2}\int_{\mathbb R} f(\mu) \, d\mu \left(\frac 1 {(\mu - \lambda) -i \epsilon}-\frac 1 {(\mu - \lambda) +i \epsilon}\right) $$
Así que, $\epsilon$ de hecho definir el camino alrededor del polo $\mu=\lambda$ - que de polos "juega". Si se cierra el contorno en la mitad superior del plano complejo el primer término contribuye (y dará $\frac{-i}{2}2\pi{i}f(\lambda)=\pi{f}(\lambda)$ - vamos en sentido contrario a las agujas del reloj); si en el semiplano inferior - el segundo (y dará $\frac{i}{2}(-2\pi{i})f(\lambda)=\pi{f}(\lambda)$ - vamos en el sentido de las agujas del reloj).
La forma de cerrar el contorno (integración sobre el semicírculo grande) depende del comportamiento de $f(\mu)$ - que a menudo se define por algunas consideraciones físicas.
