La distribución unidimensional de Maxwell para el $i-$ componente del vector velocidad es
$$f_{1D }(v_i) = \left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1/2} \exp\left(-\frac{m v_i^2}{2kT} \right)$$
Dejemos caer el $i$ y $1D$ subíndices para simplificar. Se busca la media de los valor absoluto de $v$ , $|v|$ . Para encontrar $\langle |v| \rangle $ tenemos que realizar la integración
$$\int_{-\infty}^{\infty} |v| \ f(v) \ d v$$
Ahora bien, como $f(v)$ depende sólo del cuadrado de $v$ y estamos en una dimensión, $f(|v|) d|v| = f(v) d v$ y tenemos
$$\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1/2} \int_{-\infty}^{\infty} |v| \exp\left(-\frac{m |v|^2}{2kT} \right) \ d |v|$$
Como el valor absoluto está presente, esto es igual a (cambiemos la notación para mayor claridad, $|v|=u$ )
$$ 2 \left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1/2} \int_{0}^{\infty} u \exp\left(-\frac{m u^2}{2kT} \right) \ d u$$
La integral se puede resolver fácilmente integrando por partes, y da como resultado $\frac{kT}{m}$ para que..:
$$ \left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1/2} \left(\frac{2 kT}{m}\right)$$
Simplificando, obtenemos:
$$\langle |v| \rangle = \left( \frac{2kT}{\pi m} \right)^{1/2}$$
Q.E.D. :-)
P.D. Obsérvese que la media de $v_i$ (sin valor absoluto) sería $0$ por simetría. Para mayor claridad:
$$\langle v \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} v \ f(v) \ d v = 0$$
$$\sqrt{\langle v \rangle^2} = v_{rms} = \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} v^2 \ f(v) \ d v }$$
$$\langle {|v|} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} |v| \ f(v) \ d v $$