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Distribución de la velocidad de Maxwell, en 1D o en otro caso

Aprendí de mi libro de texto que la distribución de velocidad de Maxwell da: $$v_{rms} =\sqrt{\frac{3kT}{m}}$$ $$v_{avg} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$$ Es de suponer que esto es para un tres dimensiones. Esto me confunde porque para distribuciones unidimensionales los valores son $$v_{x,rms} =\sqrt{\frac{kT}{m}}$$ $$v_{x,avg} = \sqrt{\frac{2kT}{\pi m}}$$

El hecho de que el RMS de 1D sea $\frac{1}{\sqrt{3}}$ veces la media 3D es intuitiva (y el sitio explica por qué.) No veo por qué la media 1D, sin embargo, es $\frac{1}{2}$ la media 3D. ¿Es correcto el sitio? ¿Y cuál es la razón?

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valerio92 Puntos 483

La distribución unidimensional de Maxwell para el $i-$ componente del vector velocidad es

$$f_{1D }(v_i) = \left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1/2} \exp\left(-\frac{m v_i^2}{2kT} \right)$$

Dejemos caer el $i$ y $1D$ subíndices para simplificar. Se busca la media de los valor absoluto de $v$ , $|v|$ . Para encontrar $\langle |v| \rangle $ tenemos que realizar la integración

$$\int_{-\infty}^{\infty} |v| \ f(v) \ d v$$

Ahora bien, como $f(v)$ depende sólo del cuadrado de $v$ y estamos en una dimensión, $f(|v|) d|v| = f(v) d v$ y tenemos

$$\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1/2} \int_{-\infty}^{\infty} |v| \exp\left(-\frac{m |v|^2}{2kT} \right) \ d |v|$$

Como el valor absoluto está presente, esto es igual a (cambiemos la notación para mayor claridad, $|v|=u$ )

$$ 2 \left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1/2} \int_{0}^{\infty} u \exp\left(-\frac{m u^2}{2kT} \right) \ d u$$

La integral se puede resolver fácilmente integrando por partes, y da como resultado $\frac{kT}{m}$ para que..:

$$ \left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1/2} \left(\frac{2 kT}{m}\right)$$

Simplificando, obtenemos:

$$\langle |v| \rangle = \left( \frac{2kT}{\pi m} \right)^{1/2}$$

Q.E.D. :-)

P.D. Obsérvese que la media de $v_i$ (sin valor absoluto) sería $0$ por simetría. Para mayor claridad:

$$\langle v \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} v \ f(v) \ d v = 0$$

$$\sqrt{\langle v \rangle^2} = v_{rms} = \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} v^2 \ f(v) \ d v }$$

$$\langle {|v|} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} |v| \ f(v) \ d v $$

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Armend Veseli Puntos 50

La definición de $v_{avg}$ para la tercera dimensión es $$v_{avg}=\int_0^\infty |v|f(v)dv$$ Sin embargo, debe quedar claro que $$v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$$

En el caso de las 3D, la distribución puede derivarse de la distribución de las 1D, pero es un poco diferente. $$f_{3D}(v) = \left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3/2} \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT} \right)$$

Después de una integración similar a la anterior, puedes obtener el mismo resultado que en tu post.

La media 3D no es sencilla, sino que hay que pasar por la definición, que en general es coherente con lo que hacemos en la vida cotidiana.

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