Si dos operadores dicen $D$ y $B$ conmuta entonces por qué una función propia no degenerada del operador $D$ es también una función propia del operador $B$ ?

Question

Tengo la siguiente derivación que no es comprensible para mí y soy incapaz de entenderla.Considere una ecuación de valor de la función propia $$D{\Psi}=d{\Psi} $$ Ahora $B$ opera sobre la ecuación anterior y da $$BD{\Psi}=d(B{\Psi}) $$
desde $d$ es un número. Además, $B$ se desplaza con $D$ Por lo tanto, podemos escribir la ecuación anterior como $$D(B{\Psi})=d(B{\Psi})$$ La ecuación anterior muestra claramente que $B{\Psi}$ es una función propia del operador D con el mismo valor propio $d$ . AQUÍ ESTÁ MI DUDA EN LA DECLARACIÓN 'desde ${\Psi}$ no degenera con $B{\Psi}$ la función propia $B{\Psi}$ debe ser un múltiplo de ${\Psi}$ ' es decir $$B{\Psi}=b{\Psi}$$ ¿por qué es necesario? La explicación de esto en mi mente es ya que ${\Psi}$ y $B{\Psi}$ son no degeneradas no deben dar el mismo valor propio, si la condición anterior no se cumple no es posible satisfacer la degeneración de dos funciones propias. ¿Se puede escribir de la siguiente manera? $$D(B{\Psi})=db{\Psi}$$ mi otra pregunta es si ${\Psi}$ es no degenerativo entonces $B{\Psi}$ debe ser no degenerado?

Answer 1

Considere un operador $D$ con alguna función propia $\Psi$ y el valor propio $d$ : $$D\,\Psi = d\,\Psi \quad. $$

Si hay un operador, $B$ que conmuta con $D$ entonces se deduce que (como has demostrado) $B\, \Psi$ es también una función propia de $D$ con el mismo valor propio $d$ .

Si $d$ es no degenerada, entonces sólo existe por definición una función propia (hasta una constante multiplicativa) que cumple $D\,\Psi = d\, \Psi$ . Por lo tanto, debemos tener que $B\,\Psi = b \Psi$ para alguna constante $b$ .

Editar : Con respecto a su comentario. ¿Cómo podemos concluir que necesariamente $B\,\Psi \overset{!}{=}b\,\Psi$ para alguna constante $b$ ¿tiene? Demos un paso atrás y consideremos un operador $A$ con dos posibles estados propios. Podría darse el caso de que $$A \,\psi_1 = a\,\psi_1 $$ y $$A\,\psi_2 = a\,\psi_2 \quad .$$ En realidad, es fácil ver que si elegimos $\psi_2 \equiv c\,\psi_1$ para alguna constante $c$ entonces la segunda ecuación se deduce trivialmente de la primera. Si no es así, es decir, si $\psi_2 \neq c\, \psi_1$ para cualquier constante $c$ entonces decimos que el valor propio $a$ de $A$ se degenera.

Volviendo a nuestro ejemplo, en el que hemos supuesto que $d$ es no degenerado. Según nuestras consideraciones anteriores esto significa que no podemos tener dos funciones $\psi_1$ y $\psi_2$ que cumpliría con $$ D \,\psi_1 = d\,\psi_1$$ y $$ D\,\psi_2 = d\,\psi_2 $$ mientras que $\psi_2 \neq c\, \psi_1$ . Pero encontramos dos funciones, a saber $\Psi$ y $B\,\Psi$ que cumplen estas ecuaciones. Por lo tanto, como al mismo tiempo no se puede sostener que $B\,\Psi \neq b\,\Psi$ encontramos $$ B\,\Psi = b\,\Psi \quad .$$

Espero que esto haya ayudado.