Dejemos que $f: X \to Y$ sea una función. Mostrar $f$ es surjetivo $\iff f^{-1}(y)$ contiene al menos un elemento para todos los $y \in Y$ .
Prueba:
Dejemos que $y \in Y.$ Supongamos que $f^{-1}(\{y\}) = \emptyset.$ Desde $f$ es sobreyectiva, hay algún $x \in X$ s.t. $f(x) = y.$ Esto implica $f(\{x\}) = \{y\}$ que significa $y = f(x) \in f(\{x\})$ . Entonces por definición de preimagen de conjunto, $x \in f^{-1}(f(\{x\})) = f^{-1}(\{y\}).$ Contradicción. Supongamos ahora $x \in f^{-1}(\{y\}).$ Entonces por definición de imagen inversa de conjunto, $f(x) \in \{y\}$ que significa $y = f(x)$ . Esto muestra $f$ es suryente.
¿Funciona la prueba? Gracias.
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La prueba es correcta, pero no necesitas este argumento de contradicción. Si $f$ es suryectiva, dado $y \in Y$ existe $x \in X$ tal que $f(x) = y$ entonces se puede concluir directamente que $f^{-1}(\{y\}) \neq \emptyset$ para todos $y \in Y$ .
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@ABP, gracias. Tengo una pregunta. ¿Tiene $f(a) = f(c) = 2$ implica $f(\{a\}) = f(\{c\}) = f(\{a, c\}) = \{2\}$ ? También, $f^{-1}(\{2\}) = \{a, c\}$ pero $f^{-1}(\{2\}) \ne \{a\}$ y $f^{-1}(\{2\}) \ne \{c\}$ . ¿Es correcto? Sólo trato de conseguir una caída de estas cosas.
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En general, dado un conjunto $A \subset X$ definimos la imagen de $A$ como $f(A) = \{y \in Y; y = f(x), x \in A\}$ . En este caso, $f(\{a,c\}) = f(\{a\}) = f(\{c\}) = \{2\}$ . La preimagen de un conjunto $B \subset Y$ se define por $f^{-1}(B) = \{x \in X; f(x) \in B\}$ entonces $\{a,c\} \subset f^{-1}(\{2\})$ pero $f^{-1}(\{2\})$ también contiene todos los demás elementos $x \in X$ tal que $f(x) = 2$ por lo que no se puede concluir que $\{a,c\}$ es igual a $f^{-1}(\{2\})$ a menos que conozca la información que $a,c$ son los únicos elementos de X tales que $f(a) = f(c) = 2$ .