La curva modular X(N)

Question

Tengo una pregunta sobre el sistema modular de la curva X(N), que clasifica a las curvas elípticas con total nivel de N de la estructura. (Un nivel N de la estructura de una curva elíptica E es un isomorfismo de $Z/NZ \times Z/NZ$ para el grupo de N-puntos de torsión en la dirección de E).

Algunas anotaciones: $\Gamma(N)$ es el subgrupo de SL$_2(\mathbb{Z})$, que contiene todas las matrices congruentes a la matriz de identidad modulo N. $\mathbb{H}$ es la parte superior halfplane.

$\Gamma(N)\backslash\mathbb{H}$ es un Riemannsurface la clasificación de curvas elípticas con el N de nivel de la estructura y la condición adicional de que los dos puntos de base de los elegimos mapa para un cierto N-ésima raíz de la unidad bajo el Weil emparejamiento. El problema es que esta curva sólo está definida sobre $\mathbb{Q}(\zeta_N)$.

Al parecer, si dejamos fuera la condición con la de Weil de emparejamiento, se obtiene una curva X(N) definida sobre $\mathbb{Q}$ ha $\phi(N)$ geométrica de los componentes isomorfo a $\Gamma(N)\backslash\mathbb{H}$. Hay una buena manera para la construcción de la curva X(N) de $\Gamma(N)\backslash\mathbb{H}$? Por desgracia, el autor se refiere a un papel francés por Deligne-Rapoport.(Yo no hablo francés)

¿Conoces alguna mejor las referencias de este?

Answer 1

La forma de construcción $X(N)_{/\mathbb{Q}}$ $\Gamma(N) \backslash \mathcal{H}$ es exactamente lo que usted dijo: $\Gamma(N) \backslash \mathcal{H}$ es por su naturaleza un complejo objeto analítico, más precisamente, de una superficie de Riemann, que es el conjunto de puntos de un afín curva algebraica $\mathbb{C}$. Para llegar desde el este a lo que vosotros llamáis $X(N)$ uno viene con módulos problema: curvas elípticas, además de a $\Gamma(N)$a nivel de la estructura.
Porque se trata de un mod $N$ determinante mapa no ser surjective en el caso de $\Gamma = \Gamma(N)$ (ver página 11 de estas notas para obtener más información sobre esto) el modelo canónico, en el sentido de Shimura y Deligne se define a través de una adecuada extensión de $\mathbb{Q}$, en este caso $\mathbb{Q}(\zeta_N)$. Esto corresponde al hecho de que los módulos problema tiene un trivial discreto invariante: una opción de primitivas $N$th raíz de la unidad. Así que el geométricamente desconectado de la curva de $X(N)$ es una manera de "empujar los módulos problema a $\mathbb{Q}$". No veo cómo describir a $X(N)$ en términos de la compleja curva algebraica en cualquier forma más directa de este.

También debe ser consciente de que $\mathbb{Q}$ es un campo de definición de la compleja curva algebraica $\Gamma(N) \backslash \mathcal{H}$, es decir, hay una curva algebraica $\mathbb{Q}$ cuya base de extensión a $\mathbb{C}$ es el dado por la curva. Una manera de mostrar esto es el uso de la media aritmética de la teoría de aminoácidos de los revestimientos. Esta perspectiva se aplica a un contexto más general de la familia de curvas de aquí. O puede ser hecho por la torsión de los módulos problema: en lugar de considerar curvas elípticas con total $N$-torsión racional sobre el campo de tierra, se puede considerar curvas elípticas $E$ sobre un campo $K$ $N$- torsión subgrupo esquema de Weil-equivariantly isomorfo a $\mathbb{Z}/N /\mathbb{Z} \times \mu_N$. Una cosa que se pierde aquí es el automorfismos: el complejo de la analítica de la curva de ha $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ que actúa sobre él por automorfismos (de hecho este es el automorphism grupo para todos lo suficientemente grande $N$). Pero no hay un modelo de $\mathbb{Q}$ para que todos estos automorfismos se $\mathbb{Q}$-racionalmente definidos.

Por cierto, si no hay ningún camino real a estos resultados, no soy consciente de ello. Si usted es serio acerca de la comprensión de este material, eventualmente necesitará para leer (al menos una parte de) Deligne-Rapoport, francés o no. De hecho, usted probablemente encontrará que los aspectos lingüísticos, son el menor de sus preocupaciones: hay otros estrechamente relacionados con obras de Shimura y Katz-Mazur, todos en inglés, pero estas obras, todos emplean ciertos matemáticos dialectos (por ejemplo, Weil-estilo de fundaciones, módulos de pilas, fppf topologías) que tome el tiempo para aprender a hablar así. En mi memoria, al menos, Deligne-Rapoport es muy claramente escrito y utiliza cerca de la mínima cantidad posible de la tecnología necesaria para cubrir los temas que aparecen en el mismo: es decir, un razonable dominio de la algebraica y aritmética, la geometría en el lenguaje de los esquemas (que es una especie de Esperanto para los matemáticos tener algún interés en la geometría algebraica, en estos días). La buena suerte.

Answer 2

Una forma estándar para describir la versión desconectada de $X(N)$ es como sigue: es el cociente $$SL_2(\mathbb Z)\backslash \bigl(\mathcal H \times GL_2(\mathbb Z/N\mathbb Z)\bigr),$ $ en $SL_2(\mathbb Z)$ actúa en $\mathcal H$ como de costumbre y en $GL_2 (\mathbb Z/N \mathbb Z) $ via izquierda multiplicación de matrices.