Supongamos que $X$ y $Y$ son variables aleatorias de Poisson independientes. Encuentre la función de masa de probabilidad condicional $P(X=k\mid X+Y=m)$

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ son variables aleatorias de Poisson independientes con parámetros $\lambda$ y $\mu$ respectivamente. Encuentre la función de masa de probabilidad condicional $P(X=k\mid X+Y=n)$ .

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No sé cómo enfocar esto. Además, la pregunta me pide que encuentre $E[X\mid X+Y=n]$ . ¿Cuál es la distinción? ¿Tiene una distribución diferente?

Answer 1

Tienes que proporcionar más contexto para tu pregunta; en particular, aunque digas que no sabes cómo abordar el problema, tienes que ser capaz de demostrar lo que SÍ sabes.

Sin embargo, la única pregunta que voy a responder es que $$\Pr[X = k \mid X + Y = n]$$ es un probabilidad condicional . En concreto, es la probabilidad de que, dado que se observa que la suma de las variables de Poisson es igual a $n$ que también observó $X = k$ . Así que, obviamente, esta probabilidad no puede ser menor que cero, ni mayor que uno.

Por el contrario, $$\operatorname{E}[X \mid X + Y = n]$$ es un expectativa condicional . Es, en cierto sentido, el "valor medio" de $X$ dado que la suma $X+Y$ se observó que $n$ . Se trata de un número que no tiene por qué estar entre cero y uno; de hecho, si $n$ es muy grande, por ejemplo $1000$ también razonaríamos intuitivamente que el valor esperado de $X$ debería ser bastante mayor que uno.

Answer 2

Primero hay que encontrar la distribución de $X+Y$ Hay varias formas de hacerlo, se puede utilizar la función generadora de momentos para encontrar la distribución de $X+Y$

$E[e^{t(X+Y)}]=E[e^{tX}]E[e^{tY}]=e^{\lambda(e^t-1)}e^{\mu(e^t-1)}=e^{(\lambda+\mu)(e^t-1)}$ ~Poisson( $\lambda+\mu)$ . Después de calcular la probabilidad de hacer $$P(X=k|X+Y=n)=\frac{P(X=k)P(Y=x-n)}{P(X+Y=n)}$$