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¿Cuándo la vecindad de un conjunto es una pelota?

En el espacio euclidiano n, es fácil demostrar que dado un conjunto $S$ de radio $< r$ El $a$ -Vecino de $S$ es una bola, para cualquier $a \geq 2r$ .

Prueba : Dejemos que $S$ estar contenida en $B_r(y)$ , $y \in \mathbb{R}^n$ . Tenga en cuenta que si $a \ge 2r$ entonces $ B_r(y) \subset Nbd_a(S)$ . Sea $z\in Nbd_a(S) \backslash B_r(y)$ . Consideremos el triángulo con vértices $z$ , $y$ y $s$ con $s\in S$ . La longitud del borde $yz$ es mayor que $r$ que es mayor que la longitud de la arista $ys$ . De ello se deduce que el ángulo en $z$ es menor que $\pi/2$ (menos de $\pi/3$ de hecho), lo que significa que los puntos del borde $yz$ cerca de $z$ están más cerca de $s$ que $z$ es, lo que implica que estos puntos también están en $Nbd_a(S)$ . Por lo tanto, $Nbd_a(S)$ tiene forma de estrella con respecto a $y$ .

Me gustaría un resultado para una métrica $PL$ múltiple, de la forma

Teorema : Para una métrica $PL$ colector $M$ Hay un poco de $\epsilon > 0$ tal que todo subconjunto $S$ de radio $r$ y todos $a$ con $2r \leq a \leq \epsilon$ el vecindario $Nbd_a(S)$ es homeomorfo a una bola.

¿Puede alguien aportar una prueba?

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Anne-Laure Puntos 26

Si entiendo bien la pregunta, la respuesta es no. Haz una triangulación $2$ -con métricas euclidianas en las simplices, de manera que el ángulo total alrededor de algún vértice sea muy pequeño. Sea $S$ consiste en dos puntos, ambos a la misma pequeña distancia $D$ de ese vértice y (a reserva de ello) lo más alejado posible. Si $2r$ es la distancia entre los puntos, entonces para un rango bastante grande de valores de $a$ la unión de $a$ -bolas centradas en estos dos puntos es topológicamente un anillo.

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