límite de la fracción continua

Question

¿Cuál es el límite de $(p_n)$ ?

$a_n=\frac{n}{2(n+3)}$ , $b_n=\frac{1}{2}(\frac{n}{n+3})^2$

$$p_{n+1}=a_n+ \cfrac{b_n}{a_{n-1}+\cfrac{b_{n-1}}{a_{n-2}+\cfrac{b_{n-2}}{\cfrac{\ddots}{\cfrac{b_1}{p_1}}}}} \text{ where } p_1=1.$$

EDIT : ¿y cuál es la tasa de convergencia? ¿Es posible demostrar que $n(\frac{1}{p_n}-1)-3\to 0$ ?

Gracias

Answer 1

En primer lugar, elija $k$ tal que $\dfrac{2}{3} < k < 1$ y observar: $b_n = 2a_n^2$ . Así que primero muestra $\{p_n\}$ es una secuencia monotónicamente creciente de números reales positivos. Que $\{p_n\}$ son términos positivos se desprenden de la ecuación recursiva ya que tanto $a_n > 0, b_n > 0$ para todos $n $ 's. Siguiente mirada: $p_{n+1} - p_n = \dfrac{-p_n^2+a_np_n+b_n}{p_n}= \dfrac{(4a_n - p_n)(2a_n+p_n)}{p_n}$ . Desde $2a_n + p_n > 0, p_n > 0$ , para mostrar $p_{n+1} > p_n$ se muestra: $p_n < 4a_n$ . Ahora: $p_n = a_{n-1} + \dfrac{b_{n-1}}{p_{n-1}}< a_n+\dfrac{b_{n-1}}{p_{n-1}}= a_n+\dfrac{2a_{n-1}^2}{p_{n-1}}< a_n+\dfrac{2a_{n-1}^2}{a_{n-2}} < a_n+\dfrac{2a_{n-1}}{k}< a_n + \dfrac{2a_n}{k} < 4a_n\implies p_n < 4a_n\implies 4a_n - p_n > 0 \implies p_{n+1} - p_n > 0\implies p_{n+1} > p_n$ . Así, $\{p_n\}$ es una secuencia monotónicamente creciente de reales positivos. Además están acotados por encima. Para ver que este es el caso tienes: $p_{n+1} = a_n + \dfrac{b_n}{p_n}< 1 + \dfrac{1}{a_{n-1}} < 1 + \dfrac{1}{\frac{1}{4}} = 1+4 = 5, \forall n \ge 1$ . El $\{p_n\}$ Obsérvese también que $a_n \to \dfrac{1}{2}, b_n \to \dfrac{1}{2}$ por lo que se toma el límite para $n \to \infty$ lo consigues: $x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\dfrac{1}{2}}{x}= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2x}\implies 2x^2 = x + 1\implies 2x^2-x - 1 = 0\implies (2x+1)(x-1) = 0\implies x = 1,-\dfrac{1}{2}\implies x = 1$ desde $x = \displaystyle \lim_{n\to \infty} p_n > 0$ y esto es cierto ya que $p_{n+1} > a_n > \dfrac{1}{4}\implies x \ge \dfrac{1}{4}$ .

Answer 2

Suponiendo que $p_n$ converge a algún $L$ se obtiene la ecuación $L^2-{1\over2}L-{1\over2}=0$ cuya única solución positiva es $L=1$ .

Answer 3

Primera nota como $n\to \infty$ $a_n\to 1/2$ y $b_n\to 1/2$

Entonces considere la función $f(x) = 1/2 + 1/(2x)$

Los únicos puntos fijos de esta función son $1$ y $-1/2$ y así como $p_n>0$ $\forall n$ si $p_n$ converge, $p_n \to 1$ .

Answer 4

Dejemos que $p(n)=\dfrac n{2(n+3)}+\dfrac{n^2}{2(n+3)^2}$

$\dfrac1{p_n}-1$ $=\dfrac{2(n+3)^2}{2n^2+3n}-1 =\dfrac{9n+18}{n(2n+3)}$

$n\bigg(\dfrac1{p_n}-1\bigg) =\dfrac{9n+18}{2n+3} ⇒\dfrac92$