¿Cómo hace uno para ver los Operadores de Hecke como ayudar a generalizar la Reciprocidad Cuadrática?

Question

Mi pregunta es, realmente, acerca de la forma de pensar de los operadores de Hecke como ayudar a generalizar la reciprocidad cuadrática.

La reciprocidad cuadrática puede ser enunciada así: sea $\rho: Gal(\mathbb{Q})\rightarrow GL_1(\mathbb{C})$ $1$-dimensiones de la representación que los factores a través de la $Ga(\mathbb{Q}(\sqrt{W})/\mathbb{Q})$. Entonces para cualquier $\sigma \en L(\mathbb{Q})$, $\sigma(\sqrt{W})=\rho(\sigma)\sqrt{W}$. Definir para cada número primo p $$ un operador en el espacio de las funciones de $(\mathbb{Z}/4|W|\mathbb{Z})^{\times}$ $\mathbb{C}^{\times}$ $T(p)$ toma la función $\alpha$ a la función que toma el valor de $x$ $\alpha(\frac{x}{p})$. A continuación, hay un simultáneo eigenfunction $\alpha$, con autovalor $a_p$ para $T(p)$, tal que para todo $p\no|4|W|$ $\rho(Frob_p)=a_p$. (y que se relacionan con el nivel de licenciatura-libro de texto-versión de la reciprocidad cuadrática, uno sólo tiene en cuenta que $\rho(Frob_p)$ es sólo el símbolo de Legendre $\left( \frac{W}{p}\right)$.)

Ahora estoy tratando de entender cómo piensa la gente de las generalizaciones de este. En primer lugar, aún en el caso unidimensional, digamos que no estamos trabajando a través de una ecuación cuadrática de campo. ¿Qué sería de la generalización? Lo que iba a ocupar el lugar de los $4|W|$? Sería el espacio de las funciones que el $T(p)$'s trabajo en todavía ts espacio de funciones de $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\times}$ $\mathbb{C}^{\times}$? ¿Qué es esto $N$?

Ahora vamos a saltar a los $2$-dimensional caso. Aquí tenemos a la actual teoría de los operadores de Hecke. Sin embargo, como yo lo entiendo, hay una base de simultánea autovalores sólo por la cúspide de las formas. Ahora me estoy encontrando difícil para que coincida con todo: estamos tratando sólo con irreductible $2$-representaciones tridimensionales? En lugar de $\rho$ ¿tomamos el personaje? Podríamos decir que cada representación hay una cúspide de forma tal que es un simultánea eigenfunction y tal que $\xi(Frob_p)=a_p$ (autovalores) donde $\xi$ es el personaje de $\rho$? Esto probablemente debería ser para todos los p $$ que no se separen unos $N$. ¿Qué es esto $N$? En relación a la cúspide formas de alguna manera? Es su peso? Su nivel?

En otras palabras:

Preguntas

1. ¿Cuál es la precisa instrucción de la generalización (en la terminología de arriba) de la reciprocidad cuadrática para el $1$-dimensional caso?

2. ¿Cuál es la precisa instrucción de la generalización (en la terminología de arriba) de la reciprocidad cuadrática de los $2$-dimensional caso?

Answer 1

El unidimensional de la generalización de la reciprocidad cuadrática es de la clase de teoría de campo (más de $\mathbb Q$, si desea restringir a este caso, donde es conocido como el de Kronecker--Weber teorema).

Aquí es una formulación que es útil para comparar con las dos dimensiones de la versión; es útil dividir en dos partes:

• Dado un carácter de Dirichlet $\chi: (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{\times} \to \mathbb C^{\times},$ hay una (única determiend) Galois carácter $\psi: G_{\mathbb Q} \to \mathbb C^{\times}$, unramified fuera de $N$, tal que $\psi(Frob_p) = \chi(p)$ de cada primer $p$ no dividir $N$.

• Cada carácter continuo $\psi: G_{\mathbb Q} \to \mathbb C^{\times}$ se asocia a algunos de Dirichlet carácter como en la viñeta anterior punto.

Como se observa, uno puede pensar en la multiplicación por $p$ en $(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{\times}$ como un "Hecke operador en $p$" ($p$ no dividir $N$) y, a continuación, los caracteres de Dirichlet son precisamente los normalizado Hecke eigenforms (es decir, las funciones $(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{\times} \to \mathbb C$ que son eigenforms para todos los operadores de Hecke, normalizado de modo que $\psi(1) = 1$).

Ahora para las dos dimensiones de la versión:

• Por cada peso de un cupsidal Hecke eigenform $f$ nivel $N$ (es decir, un eigenform para todos los $T_p$ con $p$ no dividir $N$) no es un (determinada únicamente) continua representación irreducible $\rho:G_{\mathbb Q} \a GL_2(\mathbb C)$, unramified fuera de $N$, tal que, para cada p $$ no dividir $N$, el char. poli de $\rho(Frob_p)$ es igual a la $p$th Hecke polinomio de $f$, es decir, igual a $X^2 - a_p X + \varepsilon(p)$, donde $a_p$ es el $T_p$-autovalor de $f$ y $\epsilon$ es el nebentypus personaje de $f$. Como un leve lado, tenga en cuenta que el determinante de $\rho$ es un carácter unidimensional, y la condición precedente muestra que $\det \rho$ está asociado al carácter de Dirichlet $\varepsilon$ a través de la abelian correspondencia, ya considerados. Tenga en cuenta también que, necesariamente, para la nebentypus de un peso de un eigenform, uno tiene $\varepsilon(-1) = -1$, y por lo tanto $\det\rho(c) = -1$ (donde $c \in G_{\mathbb Q}$) es compleja conjugación).

• Si $\rho:G_{\mathbb Q} \a GL_2(\mathbb C)$ es una continua representación irreducible tal que $\det\rho(c) = -1$, entonces $\rho$ surge a partir de un peso de un cuspidal eigenform como en la anterior viñeta.

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Observaciones:

• La primera viñeta en el caso unidimensional de la siguiente manera desde el isomorfismo $Gal(\mathbb Q(\zeta_N)/\mathbb Q) = (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{\times}$, que es esencialmente equivalente a la irreductibilidad de la $N$th cyclotomic polinomio, debido a Gauss.

• El segundo punto en el caso unidimensional se sigue de la de Kronecker--Weber teorema, que establece que cada abelian extensión de $\mathbb P$ es contenida en un cyclotomic extensión.

• La primera viñeta en el caso bidimensional es un teorema de Deligne y Serre.

• El segundo punto en el caso bidimensional fue conjeturado por Langlands (de hecho es un caso muy particular de una forma mucho más general de la conjetura de Langlands, que strenghtens Artin la hipótesis en la holomorphicity de Artin $L$-funciones), y se demostró en todos los casos por Khare, Wintenberger, y Kisin (después de mucho parciales de progreso de los demás).

• Hay una estrechamente relacionados con la historia de las formas modulares de peso $> 1$, pero luego uno debe introducir $\ell$-ádico representaciones, en lugar de sólo los más complejos. Para más información sobre esto se puede ver en algunos de los puestos en el programa de Langlands vinculados a aquí.