Obtención de la matriz de covarianza de un vector aleatorio gaussiano

Question

Busco consejo sobre un problema que me han asignado para resolver. El problema es el siguiente. Supongamos que un coche tiene que viajar de P1 a P4, con puntos intermedios P2, P3. Digamos que $X1$ es una v.r. que define que el tiempo de viaje de P1 a P2 se distribuye normalmente con $\mu$ = 25, $\sigma^2$ = 3, de forma similar $X2$ es una v.r. para el tiempo de viaje de P2 a P3 y $X2 \sim N(15,3)$ Finalmente, X3 es un r,v, para el tiempo de viaje de P3 a P4 y $X3 \sim N(20,1)$ . A continuación, defina un vector aleatorio $(T2,T3,T4)$ con los tiempos en que el coche pasa por P2,P3 y P4.

Tengo que definir la distribución del vector aleatorio ${\bf t}=[T2,T3,T4]$ a través de su matriz de covarianza y su $\mu$ vector de expectativas. Esto es lo que he hecho hasta ahora:

• $T2$ se distribuiría igual que $X1$ . $T3$ se definiría como $X1+X2$ y $T4$ se definiría como $X1+X2+X3$ . Entonces $T3$ también se distribuiría de forma gaussiana, ya que la suma de gaussianas es una gaussiana, y la distribución sería $N(25+15,3+3)=N(40,6)$ . Siguiendo un razonamiento similar, $T4 \sim N(25+15+20,3+3+1)=N(60,7)$ . Entonces, si defino un vector ${\bf u}=[U_1,U_2,U_3]$ donde $U_i \sim N(0,1)$ entonces ${\bf Au+\mu}$ debe definir el vector ${\bf t}$ . Si definimos ${\bf A}$ como:

$$ \begin{bmatrix} \sqrt3 & 0 & 0\\ 0 & \sqrt6 & 0\\ 0 & 0 & \sqrt7 \end{bmatrix} $$

y $\mu$ como $[15,40,60]$ entonces ${\bf Au+\mu}$ definiría la distribución del vector ${\bf t}$ y la matriz de covarianza sería ${\bf \Sigma = AA^t}$ . ¿Es correcto? No estoy seguro porque creo que de alguna manera $T2$ afectaría a $T3$ y $T4$ y por lo tanto $Cov(T2,T3), Cov(T3,T4)$ no sería cero.

También tengo que encontrar la probabilidad de que el tiempo de viaje desde $P1$ a $P4$ es superior a 70. Creo que esto se resolvería como $P(T4>70)$ ya que $T4 \sim N(60,7)$ Si esto es cierto, sólo tengo que normalizar y echar un vistazo a la tabla de distribución normal o ir a R y escribir pnorm(70,60,7). ¿Crees que es correcto?

Por último, tengo que estimar el momento en que el coche pasó por P3, dado que se sabe que llegó a P4 en 65,234 unidades de tiempo. Además, si sé que pasó por P2 en 26,1 unidades de tiempo, tengo que estimar el momento en que el coche pasó por P3. En este punto estoy perdido y no sé exactamente qué hacer.

Así que esto es todo, lo siento por el post largo. Gracias por leerlo. Cualquier comentario o sugerencia será muy apreciado.

Answer 1

Creo que para la covarianza entre $T2$ y $T3$ puedes intentar sustituirlo por $T2 = X1$ y $T3 = X1 + X2$ .

Así que: \begin{equation} Cov(T2,T3) = Cov(X1,X1+X2) = Cov(X1,X1) + Cov(X1,X2) \end{equation}

Si se asume que $X1$ y $X2$ son independientes y recuerda que $Cov(A,A) = Var(A)$ entonces puede que consigas lo que necesitas aquí. A continuación, siga este plan para completar el resto de los términos en $\Sigma$ .

Para la segunda parte de la pregunta ( $P(T4>70)$ ) Creo que tienes la idea correcta.

Para la última parte, tenga en cuenta que está estimando $T3$ condicionado a saber $T2$ es decir $T3|T2 = 26.1$ que podría escribirse $X1+X2|X1 = 26.1$ . La aleatoriedad asociada a $X1$ está básicamente alejado del problema, porque lo conoce. Intenta pensar en esa línea. Del mismo modo, si usted sabe $X1+X2+X3 = 65.234$ ¿Cómo se puede utilizar ese conocimiento para estimar $X1+X2$ ? (intente reordenar la ecuación para empezar). Espero que te sirva de ayuda.