Media de la distribución Weibull

Question

Tengo la siguiente FCD de la distribución Weibull:

$$ F_X(t) = 1 - e^{-\lambda t^{\alpha}} $$

Donde $\alpha$ es el parámetro de forma. La PDF se puede encontrar mediante la diferenciación de la CDF:

$$ f_X(t) = \lambda \alpha t^{\alpha - 1} e^{-\lambda t^{\alpha}} $$

Para encontrar el valor esperado o la media, he procedido de la siguiente manera:

$$ E(X) = \int_0^\infty \lambda \alpha t^{\alpha - 1} e^{-\lambda t^{\alpha}} dt $$

Dejando, $ u = t^\alpha $ llegué a..,

$$ E(X) = \lambda \int_0^\infty u^{\frac{1}{\alpha}} e^{-\lambda u} du $$

Sé que se supone que debo terminar con una notación gamma, pero no estoy seguro de cómo lidiar con $ e^{-\lambda u} $ parte. ¿Cómo puedo integrar esto? El resultado final debería ser: $ \frac{1}{\lambda} \Gamma(1 + \frac{1}{\alpha}) $

Answer 1

Has olvidado multiplicar por $t$ en la expectativa. Debe ser $$\Bbb E[X] =\int_0^\infty tf(t)\,dt= \int_0^\infty t\cdot\lambda\alpha t^{\alpha-1} e^{-\lambda t^{\alpha}} dt$$ y la sustitución $u=\lambda t^{\alpha}\implies t=(u/\lambda)^{1/\alpha}$ rinde $$\Bbb E[X]=\int_0^\infty\frac{u^{1/\alpha}}{\lambda^{1/\alpha}}e^{-u}\,du=\frac1{\lambda^{1/\alpha}}\int_0^\infty u^{1+1/\alpha-1}e^{-u}\,du=\frac{\Gamma(1+1/\alpha)}{\lambda^{1/\alpha}}.$$

Answer 2

Sólo hay que poner $x=\lambda u$ . Usted obtiene $\lambda ^{-1 /\alpha}\int_0^{\infty} x^{(1+\frac 1 {\alpha}) -1} e^{-x}dx$ que no es más que $\lambda ^{-1/ \alpha} \Gamma (1+\frac 1 {\alpha})$ .