Dejemos que $G$ sea un grupo métrico, y sea $h$ sea la función de dimensión Hausdorff asociada sobre subconjuntos de $G$ . (Véase, por ejemplo, Barnea y Shalev, Hausdorff dimension, pro-p groups and Kac-Moody algebras, Trans. AMS 1997). ¿Cuándo tenemos $h(AB) = h(A) + h(B) - h(A \cap B)$ para subgrupos normales de $G$ ? Si esta propiedad falla, ¿existe todavía una forma general de utilizar $h$ (o alguna función de "dimensión" similar) para construir una pseudométrica en el entramado de subgrupos normales de $G$ ? Lo que busco aquí son algunos ejemplos informativos del mal comportamiento, en particular para los grupos profinitos.
Respuesta
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En la primera conferencia a la que asistí, Slava Grigorchuk me hizo una pregunta similar y no tuve respuesta. Pero cuando volví a Jerusalén hablé con Elon Lindenstrauss sobre el tema y me sugirió el siguiente y sencillo contraejemplo. Tomemos $G=\mathbb{F}_p[[t]]$ . Escoge $S$ para ser un subconjunto de los enteros con densidad uno y con complemento infinito $T$ . Diga $S=\left\{ n_i \right\}$ y $T=\left\{ m_i \right\}$ . Tome $A=\overline{< t^{n_i}>}$ y tomar $B=\overline{\left< t^{n_i} +t^{m_i} \right>}$ . Cleary, $AB=G$ , $h(A)=h(B)=1$ pero $A \cap B=\emptyset$ .
Ahora, $G$ no está generado finitamente, si quieres tener un contraejemplo que esté generado finitamente, entonces puedes tomar $G=SL_d(F_p[[t]])$ y construir de forma similar a la anterior $A$ que está hecho de matrices triangulares superiores y $B$ que está hecho de matrices triangulares inferiores. Sin embargo, $A$ y $B$ ya no será normal.
No conozco ningún contraejemplo en el que $A$ y $B$ son normales y $G$ está generada finitamente. Tampoco conozco un contraejemplo en el que $A$ y $B$ son generados finitamente. Pero como puedes deducir de mi historia anterior esto no significa mucho.
