Que $f :\mathbb{R}→ \mathbb{R}$ es una función tal que $f^2$ y $f^3$ son diferenciables. ¿$f$ Es diferenciable?

Question

Que $f :\mathbb{R}→ \mathbb{R}$ es una función tal que $f^2$ y $f^3$ son diferenciables. ¿$f$ Es diferenciable?

Del mismo modo, que $f :\mathbb{C}→ \mathbb{C}$ es una función tal que $f^2$ y $f^3$ son analíticas. ¿Es $f$ analítica?

Answer 1

En resumen: no necesariamente en el caso real, pero sí en el caso complejo.

En el caso real como en el más complejo, $f$ es diferenciable, cuando no se desvanecen y $$ f'=\left(\frac{f^3}{f^2}\right)'=\frac{(f^3)'f^2-f^3(f^2)'}{f^4}. $$

Caso Real: si $f$ se desvanece, ya no necesita ser diferenciable. Para una alternativa de ejemplo a $f(x)=|x|$, se observa que la $$ f(x)=x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\quad \forall x\neq 0\qquad f(0)=0 $$ no es diferenciable en a $0$, mientras que $f^2$ $f^3$ es diferenciable en todas partes.

Caso complejo: los ceros de $f^2$ y los de $f$ coinciden. Si $f$ es constante igual a $0$, el resultado es claro. De lo contrario, sus ceros son aislada desde $f^2$ es holomorphic no constante igual a $0$. En el conjunto abierto que es el complemento de estos ceros, el argumento anterior muestra que el $f$ es holomorphic. Y $f^2$, de donde $f$, está limitada cerca de uno a cero. Así que estos son extraíbles singularidades. Por lo tanto $f$ es holomorphic en su dominio.

Edit: por un argumento diferente, ver este hilo.

Nota: si va a reemplazar los supuestos por $f^2$ (o $f^n$, $n\geq 2$, más en general) diferenciable y $f$ continuo, se obtiene las mismas conclusiones en ambos casos. De hecho, en $f(x_0)\neq 0$, tenemos $$ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{f^2(x)-f^2(x_0)}{x-x_0}\cdot\frac{1}{f(x)+f(x_0)}\longrightarrow \frac{(f^2)'(x_0)}{2f(x_0)}. $$ Pero si se quita la continuidad de la asunción en $f$, el complejo caso puede fallar así. Sólo tiene que elegir una al azar de la raíz cuadrada de $z$.

Answer 2

Si usted quiere recorrer en $f^{p}$ para representar el $p^{\text{th}}$, a continuación, puede dejar $f$ denotan la función característica de los números irracionales. Entonces $f^2$ y $f^3$ son ambos idénticamente cero, $f$ es nada continua, mucho menos diferenciable.