Me cuesta mucho resolver integrales de ecuaciones trigonométricas. ¿Algún consejo?

Question

Estoy trabajando en una sección de integrales de funciones trigonométricas, y siempre me cuesta mucho saber de entrada el siguiente paso a dar. Conozco las técnicas, pero saber qué paso dar es difícil. Hay un árbol de posibles soluciones y se espera que yo sepa el camino correcto, y no lo sé. Se supone que por arte de magia sé que la fórmula del medio ángulo es el enfoque correcto, o lo que sea.

Es un verdadero punto de fricción en este momento. ¿Cómo se abordan estos problemas? ¿Algún consejo?

Por cierto, la pregunta que realmente me desconcertó fue la siguiente:

$\int cos^4(2t)dt$

La solución requería dos disparos de la fórmula del medio ángulo, y una sustitución. Eso no lo sabía por arte de magia. @_@

Answer 1

Yo empezaría por agotar las potencias del seno y del coseno. Las potencias Impares son fáciles ya que siempre puedes hacer el $u$ -sub. del seno o del coseno, entonces $\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$ permite masajear la expresión según sea necesario. Luego pasaría a las potencias pares de la secante y la tangente, que siguen siendo bastante fáciles siempre que se conozca el $\tan^2(\theta)+1=\sec^2(\theta)$ . Más allá de eso, busco tener un número impar de factores de seno y coseno, a menudo un $u=\sin(\theta)$ o $u=\cos(\theta)$ la sustitución funciona. Por ejemplo, $\int \sin^3(x)\cos^2(x) dx$ . Sin embargo, para $\int \frac{dx}{\cos^3(x)}$ se requiere reflexión (al menos para mí).

Para muchos estudiantes, la incapacidad de recordar las identidades trigonométricas es un gran agujero en su armadura. Una forma de ayudar a llenarlo es aprender cómo se pueden utilizar las exponenciales imaginarias para derivar las identidades trigonométricas. Por ejemplo, $ \int \sin(3x)\cos(2x) dx $ es bastante misteriosa hasta que se conoce: $$ \sin(3x)\cos(2x) = \frac{1}{2i}\biggl[e^{3ix}-e^{-3ix}\biggr]\frac{1}{2}\biggl[e^{2ix}+e^{-2ix}\biggr] = \underbrace{\frac{1}{4i}\biggl[e^{5ix}-e^{-5ix}\biggr]}_{\frac{1}{2}\sin(5x)}+\underbrace{\frac{1}{4i}\biggl[e^{ix}-e^{-ix}\biggr]}_{\frac{1}{2}\sin(x)}$$ Por lo tanto, $\int \sin(3x)\cos(2x)dx = -\frac{-1}{10}\cos(5x)-\frac{1}{2}\cos(x)+C$ . Por supuesto, puedes memorizar las identidades trigonométricas apropiadas para hacer este tipo de problemas, pero me reconforta saber que en una isla sin textos de referencia o intercambio de pilas puedo derivar todas las identidades trigonométricas que desee.

Más allá de esto, cosas como $\sec(x)$ necesito un truco para una solución rápida $u = \sec(x)+\tan(x)$ y el sentido común indica $\csc(x)$ es similar.

Lo único que te digo, y quizás no sea lo que quieres oír, es que practiques. Pero, trata de buscar patrones mientras haces problemas. Pregúntate a ti mismo, si este problema se hubiera torcido un poco, ¿podría seguir haciendo que este enfoque funcione?... si tienes poco tiempo, tal vez utilices wolfram alpha para comprobar si una conjetura está en la dirección correcta o no.

Answer 2

Creo que con saber hacerlo es suficiente. Y en realidad no poder (o no ver la ruta adecuada para) evaluar la integral al instante no es tanto problema. No vas a conseguir los puntos por no resolverla, pero eso no es importante. Cuando veas $\int \tan^2(x) \sec^4(x) \, \ dx$ obviamente no deberías pensar en usar el método de la fracción parcial, por ejemplo, para descifrarlo. Todo lo que se necesita es una simple sustitución y eso es lo importante, si puedes reducir las posibles formas de evaluarlo y aplicar la que funciona, estás bien.

Answer 3

Es sólo una lista de sustituciones y, lo que es más importante, cuándo utilizarlas. Siempre se pueden reducir las potencias y eso es importante. Así que cuando veas, por ejemplo $\sin^4(x)$ Sabes que tal vez podrías reescribir a $\left(\frac {1-\cos(2x)}{2}\right)^2$ .

para altas potencias esto suele funcionar mejor que los parciales o los sustitutos.

No hay más de unos 9 trucos. Practicar.