Dejemos que $\sigma=\langle A_n:n\in\Bbb N\rangle$ sea una secuencia de subconjuntos de algún conjunto $\Omega$ . Un punto $\omega\in\Omega$ es finalmente en $\sigma$ si hay un $n_0\in\Bbb N$ tal que $\omega\in A_n$ para todos $n\ge n_0$ es decir, si $\omega$ está en cada miembro de una "cola" de la secuencia. El punto $\omega$ es con frecuencia en $\sigma$ si para cada $m\in\Bbb N$ hay un $n\ge m$ tal que $\omega\in A_n$ es decir, si $\omega$ está en infinitos miembros de la secuencia. Estos términos proporcionan una manera fácil de pensar y hablar sobre el liminf y limsup de una secuencia de conjuntos: $\liminf_nA_n$ es el conjunto de puntos de $\Omega$ que eventualmente se encuentran en $\sigma$ y $\limsup_nA_n$ es el conjunto de puntos de $\Omega$ que se encuentran frecuentemente en $\sigma$ . Esto es bastante fácil de comprobar a partir de las definiciones. Por ejemplo, $$\liminf_{n\in\Bbb N}A_n=\bigcup_{n\in\Bbb N}\bigcap_{k\ge n}A_k\;,\tag{1}$$ así que $\omega\in\liminf_nA_n$ si existe un $n\in\Bbb N$ tal que $\omega\in\bigcap_{k\ge n}A_k$ que es el caso si $\omega\in A_k$ para cada $k\ge n$ En resumen, $\omega\in\liminf_nA_n$ si $\omega$ es finalmente en $\sigma$ . De la misma manera, $$\limsup_{n\in\Bbb n}A_n=\bigcap_{n\in\Bbb N}\bigcup_{k\ge n}A_k\;,\tag{2}$$ así que $\omega\in\limsup_n A_n$ si para cada $n\in\Bbb N$ $\omega\in\bigcup_{k\ge n}A_k$ que es el caso si $\omega\in A_k$ para algunos $k\ge n$ : $\omega\in\limsup_nA_n$ si $\omega$ es frecuentemente en $\sigma$ .
Es fácil comprobar que $$\liminf_{n\in\Bbb N}I_{A_n}(\omega)=\bigvee_{n\in\Bbb N}\bigwedge_{k\ge n}I_{A_k}(\omega)\text{ for all }\omega\in\Omega$$ y $$\limsup_{n\in\Bbb N}I_{A_n}(\omega)=\bigwedge_{n\in\Bbb N}\bigvee_{k\ge n}I_{A_k}(\omega)\text{ for all }\omega\in\Omega$$ son simplemente reiteraciones de $(1)$ y $(2)$ en términos de funciones indicadoras. (Por ejemplo, $\omega$ es finalmente en $\sigma$ si $I_{A_n}(\omega)$ es eventualmente $1$ .) Por lo tanto, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
$$\begin{align*}&\lim_{n\in\Bbb N}A_n\text{ exists}\tag{3}\\&\liminf_{n\in\Bbb N}A_n=\limsup_{n\in\Bbb N}A_n\tag{4}\\&\liminf_{n\in\Bbb N}I_{A_n}(\omega)=\limsup_{n\in\Bbb N}I_{A_n}(\omega)\text{ for all }\omega\in\Omega\tag{5}\end{align*}$$
Para terminar la prueba, sólo hay que demostrar que $(5)$ equivale a
$$\lim_{n\in\Bbb N}I_{A_n}(\omega)\text{ exists for each }\omega\in\Omega\tag{6}$$
y luego demostrar que el límite en $(6)$ es la función indicadora del límite en $(3)$ .
Todo es cuestión de traducir entre dos formas de decir lo mismo: $\omega\in A$ si $I_A(\omega)=1$ y $\omega\notin A$ si $I_A(\omega)=0$ .
