Son $((0,1]\cap\mathbb Q)\times\mathbb Q$ y $\mathbb Q \times([0,1)\cap\mathbb Q)$ ¿orden isomorfo?

Question

El ordenamiento aquí no está especificado pero asumo que es lexicográfico.

Creo que la respuesta es sí. Mi razonamiento es el siguiente:

Ninguno de los dos conjuntos tiene un elemento menor o mayor porque el segundo componente siempre puede aumentar o disminuir indefinidamente. Ambos conjuntos son contables como producto de dos conjuntos contables. Ambos conjuntos son densos (puede ser un poco complicado demostrar esto, pero parece relativamente sencillo).

Por lo tanto, ambos conjuntos son de orden isomorfo a $\mathbb Q$ por lo que son de orden isomorfo entre sí.

¿Tiene esto sentido?

Answer 1

Si la ordenación prevista es lexicográfica, tu argumento es correcto. Sin embargo, en un contexto general de teoría del orden, existe al menos otra posibilidad razonable: la pregunta podría referirse al orden parcial del producto en el que $\langle p_0,q_0\rangle\le\langle p_1,q_1\rangle$ si $p_0\le p_1$ y $q_0\le q_1$ . En ese caso no son isomorfos de orden: si $\uparrow\!\!\langle p,q\rangle=\{\langle r,s\rangle:p\le r\text{ and }q\le s\}$ entonces en el primer set $\uparrow\!\!\langle 1,q\rangle$ se ordena linealmente para cada $q\in\Bbb Q$ , mientras que en el segundo set no $\uparrow\!\!\langle p,q\rangle$ está ordenada linealmente.