El teorema al que se refiere inkspot en su respuesta es originalmente del documento de Inoue Nuevas superficies sin funciones meromórficas, II que parece una referencia más completa para esta cuestión. En particular, Inoue da un ejemplo explícito de una superficie compleja compacta que tiene una subvariedad analítica pero no submanifolds complejos compactos.
Si $x$ es una irracionalidad cuadrática real (es decir, una solución irracional real de una ecuación cuadrática real), denote su conjugado por $x'$ . Sea $M(x)$ ser el libre $\mathbb{Z}$ -módulo generado por $1$ y $x$ y, a continuación, establecer $U(x) = \{\alpha \in \mathbb{Q}(x) \mid \alpha > 0, \alpha\cdot M(x) = M(x)\}$ y $U^+(x) = \{\alpha \in U(x) \mid \alpha\cdot\alpha' > 0\}$ . Ambos $U(x)$ y $U^+(x)$ son grupos cíclicos infinitos y $[U(x) : U^+(x)] = 1$ o $2$ .
Si $\omega$ es una irracionalidad cuadrática real tal que $\omega > 1 > \omega' > 0$ entonces $\omega$ es una fracción continua modificada puramente periódica; es decir $\omega = [[\overline{n_0, n_1, \dots, n_{r-1}}]]$ donde $n_i \geq 2$ para todos $i$ , $n_j \geq 3$ para al menos una $j$ y $r$ es el período más pequeño. Para cada uno de estos $\omega$ Inoue construye una superficie compleja compacta $S_{\omega}$ que ahora se conoce como Superficie Inoue-Hirzebruch .
Hay subvariedades compactas $C$ y $D$ de $S_{\omega}$ con componentes irreducibles $C_0, \dots, C_{r-1}$ y $D_0, \dots, D_{s-1}$ respectivamente; aquí $s$ es el período más pequeño de la expansión de la fracción continua modificada de otro elemento $\omega^*$ relacionado con $\omega$ (alternativamente, $s$ puede determinarse a partir de la expansión de la fracción continua modificada de $\frac{1}{\omega}$ ). Cuando $r \geq 2$ , $C$ es un ciclo de curvas racionales no singulares, y cuando $r = 1$ , $C$ es una curva racional con un punto doble ordinario. Proposición $5.4$ muestra que $C_0, \dots, C_{r-1}, D_0, \dots, D_{s-1}$ son las únicas curvas irreducibles en $S_{\omega}$ .
En el caso de que $[U(\omega) : U^+(\omega)] = 2$ tenemos $r = s$ . Además, existe una involución $\iota$ tal que $\iota(C_i) = D_i$ para $i = 0, \dots, r - 1$ . El cociente de $S_{\omega}$ por $\iota$ se denota $\hat{S}_{\omega}$ y ahora se conoce como media superficie Inoue . Tenga en cuenta que las imágenes de $C_0, \dots, C_{r-1}$ son las únicas curvas irreducibles en $\hat{S}_{\omega}$ .
Si podemos encontrar una irracionalidad cuadrática real $\omega$ tal que $\omega > 1 > \omega' > 0$ , $r = 1$ y $[U(\omega) : U^+(\omega)] = 2$ entonces $\hat{S}_{\omega}$ es una superficie compleja compacta que contiene una única curva, concretamente una curva racional con un punto doble ordinario. En particular, proporciona un ejemplo de una variedad compleja compacta con una subvariedad pero sin submanifolds complejos compactos. Uno de estos $\omega$ en el periódico.
Ejemplo. Tome $\omega = (3 + \sqrt{5})/2$ . Entonces $[U(\omega) : U^+(\omega)] = 2$ y $\alpha_0 =\ \text{a generator of}\ U(\omega) = (1 + \sqrt{5})/2$ , $\alpha = \alpha_0^2 = (3 + \sqrt{5})/2$ , $\omega = [[\overline{3}]]$ , $r = 1$ .
En este caso, $b_2(\hat{S}_{\omega}) = 1$ y $\hat{S}_{\omega}$ contiene exactamente una curva $\hat{C}$ . $\hat{C}$ es una curva racional con un punto doble ordinario y $(\hat{C})^2 = -1$ .
Para quienes estén interesados en los detalles, además del artículo de Inoue, puede valer la pena leer el artículo anterior Superficies modulares de Hilbert por Hirzebruch. Como se menciona en su artículo, Inoue utilizó algunos métodos del artículo de Hirzebruch (lo que da alguna indicación de por qué las superficies resultantes se denominan conjuntamente).
