Cuando el mapa de sheafificación es un epimorfismo de presheaf

Question

Reclamación: Supongamos que $\mathcal{F}$ es un presheaf pegable en un espacio hausdorff paracompacto. Entonces el mapa de sheaficación sobre secciones globales $\mathcal{F}(X) \to \tilde{\mathcal{F}}(X)$ es suryente.

(Obsérvese que esto implica que si $X$ es hereditariamente paracompacto, como por ejemplo si $X \subset \mathbb{R}^n$ entonces el mapa es suryente sobre todos los conjuntos abiertos $U \subset X$ .)

Aquí es la prueba, del libro de Ramanan. La idea de la prueba es un poco complicada, ya que implica un "encogimiento". Creo que mucha gente lo achacaría a una topología extraña de conjuntos de puntos, y no le prestaría demasiada atención. Estoy tratando de entenderlo mejor. ¿Es esto indicativo de cómo se utilizan las contracciones en general? Lo que me parece misterioso es que seamos capaces de ignorar de algún modo la $U_i$ donde $x \in \overline{U}_i \setminus U_i$ .

Tal vez alguien pueda darme algunas situaciones útiles en las que se utilicen argumentos de "encogimiento" como éste.

¡Una prueba más intuitiva que la del enlace también sería bienvenida!

Pongo debajo del pliegue mi intento actual de entender la idea de la prueba. (Por favor, sepa que la mecánica de la prueba tiene sentido para mí; sólo que no la "entiendo").

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Parece que empezamos con alguna cobertura localmente finita $U_i$ y secciones $f_i$ de la hoja de presa, que coinciden en los tallos. Nos gustaría utilizar el hecho de que un número finito de secciones que comparten el mismo germen en $x$ tienen un representante común en algún conjunto abierto sobre $x$ . Por lo tanto, queremos elegir un barrio $N_x$ para cada punto que se encuentra con sólo un número finito de los $U_i$ . Pero tenemos que preocuparnos por $x$ estar en $\overline{U}_i \setminus U_i$ para algunos $i$ , en cuyo caso no hay ningún germen en $x$ correspondiente al índice $i$ . Por lo tanto, elegimos la contracción $V_i$ .

Mi pensamiento en este momento es pensar en la $\overline{V}_i$ como "indicadores": queremos decir que no pasa nada si nos topamos con $U_i$ un poco, pero no demasiado, y elegimos $N_x$ para que si $N_x$ se encuentra con $\overline{V}_i$ entonces $N_x$ está contenida en su totalidad en $U_i$ .

Answer 1

Esto es lo que se me ha ocurrido después de pensarlo.

Si nos dan un elemento de la sheafificación (una colección compatible de gérmenes representada por $f^i, U_i$ acordando los gérmenes), buscaríamos encontrar otra cubierta con los mismos gérmenes, que realmente acordaran como \textit{secciones}. La capacidad de elegir una cubierta localmente finita será clave aquí, pero no por la razón que podría parecer.

Hay una línea de argumentación seductora que dice: Toma una subcubierta localmente finita de $U_i$ , utilizar que todos los $f^i$ de acuerdo con los gérmenes, y utilizar que puedo elegir un representante común $g^x$ para un número finito de secciones que tienen los mismos gérmenes en $x$ .

Esto no tiene sentido: todo el $f^i$ tienen los mismos gérmenes, por lo que conseguir la $g^x$ para estar de acuerdo con cada $U_i$ definido en $x$ es una exageración: con sólo estar de acuerdo con uno, se $g^x$ los gérmenes adecuados. Más bien, el lugar donde entra la finitud local es en la elección de los $g^x, V_x$ para que cada vez que dos de ellos se encuentren, estén realmente de acuerdo con entre sí . Para ello, haz que cada vez que $V_x$ y $V_y$ de hecho, son restricciones de algunas $f^i$ , donde $U_i \supset V_x \cup V_y$ .

Aquí vamos a utilizar el acuerdo sobre los gérmenes: hacer que cada $g^x$ la restricción de un grupo de $f^i$ simultáneamente, para que pueda ser versátil en lo que otros $g^y$ está de acuerdo. En concreto, toma para cada $x$ un subconjunto finito $I_x$ del conjunto de índices $I$ de $U_i$ y elija $g^x$ para ser una restricción de todos los $\{f^i, U_i \mid i \in I_x \}$ simultáneamente. El conjunto $I_x$ deberá ser tal que

1. Si $i \in I_x$ entonces $V_x \subset U_i$ .
2. Si $M_x$ se encuentra con $M_y$ entonces $I_x$ se encuentra con $I_y$ (por lo que ambos son restricciones de algún tipo de $f^i, U_i$ ).

Pasar a un refinamiento localmente finito del $U_i$ y elegir un refinamiento cerrado localmente finito $Z_i$ de eso. (También podemos hacer que los interiores de $Z_i$ portada $X$ pero no lo necesitaremos aquí). A continuación, defina $I_x = \{i \in I: x \in Z_i\}$ . Es una virtud de una cubierta cerrada localmente finita que podemos elegir una vecindad $V_x$ alrededor de cada $x$ que sólo cumple con $\{Z_i: i\in I_x\}$ porque $\bigcup\limits_{\substack{\text{ones not} \\ \text{containing} \\ x}}Z_i$ es cerrado, por finitud local.

Ahora bien, tenga en cuenta que $I_x$ satisface los requisitos anteriores, siempre que elijamos $V_x$ para estar también dentro $\cap_{i \in I_x} U_i$ que está abierto desde $I_x$ es finito. (El requisito 2 viene porque si $z \in V_x \cap V_y$ Entonces, sólo toma $i \in I$ tal que $z \in Z_i$ y luego $V_x \cup V_y \subset U_i$ .)

La belleza del encogimiento $Z_i$ es que podemos jugar a la $U_i$ y el $Z_i$ entre sí: podemos decir que todas las "etiquetas" $i \in I_x$ que hemos elegido son tales que $V_x \subset U_i$ pero al mismo tiempo, hemos conseguido etiquetar cada $i$ donde $Z_i$ se encuentra con $M_x$ . (El requisito 1 anterior quiere que etiquetemos menos, mientras que el requisito 2 quiere que etiquetemos más).